Exercices types : 33ème partie - Exercice 1

10 min
20
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x−1)exf\left(x\right)=\left(x-1\right)e^{x} et Cf\mathcal{C}_{f} sa courbe représentative.
Question 1

Déterminer la limite de ff en −∞-\infty. Interpréter graphiquement.

Correction
    Formes indeˊtermineˊes\text{\purple{Formes indéterminées}}
  • Les formes (+∞)+(−∞)\left(+\infty\right)+\left(-\infty\right), 0×∞0\times\infty et ∞∞\dfrac{\infty}{\infty} sont indéterminées : on transforme l'écriture, le plus souvent en factorisant par le terme qui l’emporte{\color{blue}{\text{factorisant par le terme qui l'emporte}}}.
On développe : f(x)=xex−exf\left(x\right)=xe^{x}-e^{x}.
    Croissances compareˊes en moins l’infini\text{\purple{Croissances comparées en moins l'infini}}
  • Pour tout entier naturel nn non nul : lim⁡x→−∞xnex=0\lim\limits_{x\to -\infty } x^{n}e^{x}=0.
Donc :
lim⁡x→−∞(x−1)ex=0\lim\limits_{x\to -\infty } \left(x-1\right)e^{x}=0

L'axe des abscisses est asymptote à Cf\mathcal{C}_{f} en −∞-\infty.
Question 2

Déterminer la limite de ff en +∞+\infty.

Correction
lim⁡x→+∞(x−1)ex=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \left(x-1\right)e^{x}=+\infty
Question 3

Montrer que, pour tout réel xx, f′(x)=xexf'\left(x\right)=xe^{x}.

Correction
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
  • On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II ; alors (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'.
On pose u(x)=x−1u\left(x\right)=x-1 et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x}, donc u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x}.
f′(x)=1×ex+(x−1)ex=ex+xex−exf'\left(x\right)=1\times e^{x}+\left(x-1\right)e^{x}=e^{x}+xe^{x}-e^{x}
f′(x)=xexf'\left(x\right)=xe^{x}
Question 4

Dresser le tableau de variations complet de ff.

Correction
    Deˊriveˊe et sens de variation\text{\purple{Dérivée et sens de variation}}
  • Si f′f' est positive sur un intervalle II, alors ff est croissante sur II.
  • Si f′f' est négative sur un intervalle II, alors ff est décroissante sur II.
  • Une exponentielle est strictement positive : le signe de eu×ve^{u}\times v est celui de vv.
Comme ex>0e^{x}>0, f′(x)f'\left(x\right) a le signe de xx. De plus f(0)=(0−1)e0=−1f\left(0\right)=\left(0-1\right)e^{0}=-1.
minimum de f:f(0)=−1\text{minimum de } f : f\left(0\right)=-1
Question 5

Déterminer une équation de la tangente TT à Cf\mathcal{C}_{f} au point d'abscisse 11.

Correction
    Eˊquation d’une tangente\text{\purple{Équation d'une tangente}}
  • La tangente à la courbe de ff au point d'abscisse aa a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
f(1)=(1−1)e1=0f\left(1\right)=\left(1-1\right)e^{1}=0 et f′(1)=1×e1=ef'\left(1\right)=1\times e^{1}=e, donc y=e(x−1)+0y=e\left(x-1\right)+0 :
T:y=ex−eT : y=ex-e
Question 6

Étudier le signe de f(x)f\left(x\right) sur R\mathbb{R}, puis vérifier les résultats sur la courbe.

Correction
Comme ex>0e^{x}>0, f(x)f\left(x\right) a le signe de x−1x-1 : négatif sur ]−∞;1[\left]-\infty;1\right[, nul en 11, positif sur ]1;+∞[\left]1;+\infty\right[.
Sur la courbe : Cf\mathcal{C}_{f} est sous l'axe des abscisses avant 11, le coupe en 11 et passe au-dessus ensuite. Son point le plus bas est (0;−1)\left(0;-1\right).

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.