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Fonction exponentielle de base $e$
Exercices types :
2
2
2
ème
partie - Exercice 1
10 min
25
Soit
f
f
f
la fonction définie sur
R
\mathbb{R}
R
par
f
(
x
)
=
3
−
5
x
+
2
e
x
f\left(x\right)=3-5x+2e^x
f
(
x
)
=
3
−
5
x
+
2
e
x
.
Question 1
Vérifier que , pour tout réel
x
x
x
,
f
(
x
)
=
x
(
3
x
−
5
+
2
e
x
x
)
f\left(x\right)=x\left(\frac{3}{x}-5+\frac{2e^x}{x}\right)
f
(
x
)
=
x
(
x
3
−
5
+
x
2
e
x
)
.
Correction
f
(
x
)
=
3
−
5
x
+
2
e
x
f\left(x\right)=3-5x+2e^x
f
(
x
)
=
3
−
5
x
+
2
e
x
. Nous allons factoriser par
x
x
x
l'expression. Ce qui nous donne :
f
(
x
)
=
x
(
3
−
5
x
+
2
e
x
x
)
f\left(x\right)=x\left(\frac{3-5x+2e^x}{x}\right)
f
(
x
)
=
x
(
x
3
−
5
x
+
2
e
x
)
f
(
x
)
=
x
(
3
x
−
5
x
x
+
2
e
x
x
)
f\left(x\right)=x\left(\frac{3}{x}-\frac{5x}{x}+\frac{2e^x}{x}\right)
f
(
x
)
=
x
(
x
3
−
x
5
x
+
x
2
e
x
)
Ainsi :
f
(
x
)
=
x
(
3
x
−
5
+
2
e
x
x
)
f\left(x\right)=x\left(\frac{3}{x}-5+\frac{2e^x}{x}\right)
f
(
x
)
=
x
(
x
3
−
5
+
x
2
e
x
)
Question 2
En déduire
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} f\left(x\right)
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
.
Correction
Soit
n
n
n
un entier naturel non nul :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
n
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x^{n} } =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
n
e
x
=
+
∞
1. Calculons dans un premier temps la limite de
3
x
−
5
{\color{blue}{\frac{3}{x}-5}}
x
3
−
5
il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
3
x
−
5
=
−
5
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{x}-5=-5
x
→
+
∞
lim
x
3
−
5
=
−
5
2. Calculons dans un second temps la limite de
2
e
x
x
{\color{blue}{\frac{2e^x}{x}}}
x
2
e
x
lim
x
→
+
∞
2
=
2
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 2 =2
x
→
+
∞
lim
2
=
2
On a donc :
Ici, nous avons
n
=
1
,
(
n
>
0
)
n=1,\;(n>0)
n
=
1
,
(
n
>
0
)
, il en résulte donc que :
lim
x
→
+
∞
e
x
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{e^{x} }{x } =+\infty
x
→
+
∞
lim
x
e
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
e
x
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
2
=
2
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{e^x}{x}} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2} & {=} & {2} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
x
e
x
x
→
+
∞
lim
2
=
=
+
∞
2
}
par produit
\text{\red{par produit}}
par produit
lim
x
→
+
∞
2
e
x
x
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{2e^x}{x}=+\infty
x
→
+
∞
lim
x
2
e
x
=
+
∞
On peut donc conclure :
lim
x
→
+
∞
x
=
+
∞
lim
x
→
+
∞
3
x
−
5
+
2
e
x
x
=
+
∞
}
\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty } x} & {=} & {+\infty} \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{3}{x}-5+\frac{2e^x}{x}} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\}
x
→
+
∞
lim
x
x
→
+
∞
lim
x
3
−
5
+
x
2
e
x
=
=
+
∞
+
∞
}
par produit
\text{\red{par produit}}
par produit
lim
x
→
+
∞
x
(
3
x
−
5
+
2
e
x
x
)
=
+
∞
\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x\left(\frac{3}{x}-5+\frac{2e^x}{x}\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
x
(
x
3
−
5
+
x
2
e
x
)
=
+
∞
Finalement :
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
+
∞
{\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty }} f\left(x\right)=+\infty
x
→
+
∞
lim
f
(
x
)
=
+
∞