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Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

25 min
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On considère la fonction gg définie sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ par g(x)=ex−x−1g\left(x\right)=e^{x} -x-1
Question 1

Calculer la dérivée de la fonction gg sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[ .

Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • gg est dérivable sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[.
    On a :
    g′(x)=ex−1g'\left(x\right)=e^{x} -1

    Question 2

    Etudier le signe de g′g' sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[. Pour cela, il nous faudra résoudre l'inéquation ex−1≥0e^{x}-1 \ge 0

    Correction
    Résolvons l'inéquation :
    ex−1≥0e^{x}-1 \ge 0 équivaut successivement à :
    ex≥1e^{x} \ge 1
    ex≥e0e^{x} \ge e^{0}
    x≥0x \ge 0
    Cela signifie que ex−1≥0e^{x}-1 \ge 0 lorsque x≥0x \ge 0.
    Autrement dit, g′g' est positive dès que x≥0x \ge 0.
    Question 3

    Etudier le sens de variation de la fonction gg sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[.

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    D'après la question précédente, il vient alors que :
    Question 4

    Déterminer le signe de g(x)g\left(x\right) suivant les valeurs de xx.

    Correction
    On remarque que :
    g(0)=e0−0−1=0g\left(0\right)=e^{0} -0-1=0
    On indique cela dans le tableau de variation ci-dessous :
    Ainsi la fonction gg admet un minimum qui vaut 00 lorsque x=0x=0. La fonction gg est donc positive.
    Ainsi, pour tout xx de l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty \right[, on a :
    g(x)≥0g\left(x\right)\ge 0
    .
    Question 5

    En déduire que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty \right[, on a : ex−x>0e^{x} -x>0

    Correction
    On a vu à la question 22, que pour tout xx de l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty \right[, on a : g(x)≥0g\left(x\right)\ge 0
    Ainsi :
    ex−x−1≥0e^{x} -x-1\ge 0 donc ex−x≥1e^{x} -x\ge 1
    D'où : ex−x≥1>0e^{x} -x\ge 1>0 . Ce qui permet de dire que tout réel xx appartenant à l'intervalle [0;+∞[\left[0;+\infty \right[, on a :
    ex−x>0e^{x} -x>0

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