Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 2

$$g$$ est dérivable sur $$\left[0;+\infty \right[$$.
On a :

Résolvons l'inéquation :
$$e^{x}-1 \ge 0$$ équivaut successivement à :
$$e^{x} \ge 1$$
$$e^{x} \ge e^{0}$$
$$x \ge 0$$
Cela signifie que $$e^{x}-1 \ge 0$$ lorsque $$x \ge 0$$.
Autrement dit, $$g'$$ est positive dès que $$x \ge 0$$.

D'après la question précédente, il vient alors que :

On remarque que :
$$g\left(0\right)=e^{0} -0-1=0$$
On indique cela dans le tableau de variation ci-dessous :
Ainsi la fonction $$g$$ admet un minimum qui vaut $$0$$ lorsque $$x=0$$. La fonction $$g$$ est donc positive.
Ainsi, pour tout $$x$$ de l'intervalle $$\left[0;+\infty \right[$$, on a : .

On a vu à la question $$2$$, que pour tout $$x$$ de l'intervalle $$\left[0;+\infty \right[$$, on a : $$g\left(x\right)\ge 0$$
Ainsi :
$$e^{x} -x-1\ge 0$$ donc $$e^{x} -x\ge 1$$
D'où : $$e^{x} -x\ge 1>0$$ . Ce qui permet de dire que tout réel $$x$$ appartenant à l'intervalle $$\left[0;+\infty \right[$$, on a :