Fonction exponentielle de base $e$

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(ax+b)exf\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{x} avec aa et bb deux réels.
Question 1

Calculer f′(x)f'\left(x\right) .

Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
  • (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    • Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=ax+bu\left(x\right)=ax+b et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi u′(x)=au'\left(x\right)=a et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=aex+(ax+b)exf'\left(x\right)=a{{e^{x}}} +(ax+b){{e^{x}}}
    f′(x)=aex+axex+bexf'\left(x\right)=a{\color{blue}{e^{x}}}+ax{\color{blue}{e^{x}}}+b{\color{blue}{e^{x}}} . Nous allons maintenant factoriser par exe^{x} .
    Ainsi :
    f′(x)=ex(ax+a+b)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(ax+a+b\right)

    Question 2

    On admet que f(0)=−1f\left(0\right)=-1 et f′(0)=3f'\left(0\right)=3 .
    Déterminer alors les réels aa et bb .

    Correction
    D'après l'énoncé nous savons que f(0)=−1f\left(0\right)=-1 et f′(0)=3f'\left(0\right)=3
    D'une part :
    f(0)=−1f\left(0\right)=-1 équivaut successivement à :
    (a×0+b)e0=−1\left(a\times 0+b\right)e^{0}=-1
    (0+b)×1=−1\left(0+b\right)\times1=-1
    Ainsi :
    b=−1b=-1

    D'autre part :
    f′(0)=3f'\left(0\right)=3 équivaut successivement à :
    e0(a×0+a+b)=3e^{0}\left(a\times 0+a+b\right)=3
    1×(a×0+a+b)=31\times\left(a\times 0+a+b\right)=3
    a+b=3a+b=3
    Nos savons que b=−1b=-1, ce qui nous donne :
    a−1=3a-1=3
    a=3+1a=3+1
    Ainsi :
    a=4a=4

    Il en résulte donc que :
    f(x)=(4x−1)exf\left(x\right)=\left(4x-1\right)e^{x}