Fonction exponentielle de base $e$

Etudier les variations avec la fonction x↦exx\mapsto e^{x} - Exercice 3

7 min
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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=3ex−3xf\left(x\right)=3e^{x}-3x
Question 1

Déterminer la fonction dérivée f′f' de ff .

Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • Soit f(x)=3ex−3xf\left(x\right)=3e^{x}-3x
    Il vient alors que :
    f′(x)=3ex−3f'\left(x\right)=3e^{x}-3
    Question 2

    Etudier le signe de f′(x)f'\left(x\right) .

    Correction
    Nous savons que f′(x)=3ex−3f'\left(x\right)=3e^{x}-3
    Pour étudier le signe de f′f', nous allons résoudre l'inéquation 3ex−3≥03e^{x}-3\ge 0 .
    Ainsi :
    3ex−3≥03e^{x}-3\ge 0
    3ex≥33e^{x}\ge 3
    ex≥33e^{x}\ge \frac{3}{3}
    ex≥1e^{x}\ge 1
  • e0=1e^{0} =1
    • ex≥e0e^{x}\ge e^{0}
  • eA≥eB⇔A≥Be^{A} \ge e^{B} \Leftrightarrow A \ge B
    • Ainsi : x≥0x\ge 0
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 3ex−33e^{x}-3 lorsque xx sera supérieur ou égale à 00.
    Il en résulte donc que :
    • si x∈]−∞;0]x\in\left]-\infty;0\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 .
    • si x∈[0;+∞[x\in\left[0;+\infty\right[ alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 .
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de signe de f′f' ci-dessous :
    Question 3

    En déduire les variations de ff sur R\mathbb{R} .

    Correction
    • Si f′f' est négative sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    • Si f′f' est positive sur [a;b]\left[a;b\right] alors ff est croissante sur [a;b]\left[a;b\right].
    Il en résulte donc que :
    • si x∈]−∞;0]x\in\left]-\infty;0\right] alors f′(x)≤0f'\left(x\right)\le0 et donc ff est décroissante sur cet intervalle.
    • si x∈[0;+∞[x\in\left[0;+\infty\right[ alors f′(x)≥0f'\left(x\right)\ge0 et donc ff est croissante sur cet intervalle.
    Nous traduisons toutes ces informations dans le tableau de variation ci-dessous :