Devoir n° $1$ - Exercice 1

20 min

{\color{blue}{\text{Sur 5 points.}}}

Les quatre questions sont indépendantes.

Question 1

Simplifier l'expression $A\left(x\right)=\dfrac{\left(e^{3x}\right)^{2}\times e^{-x}}{e^{2x}}$ .

Correction

\text{\purple{Propriétés algébriques}}

A\left(x\right)=\dfrac{e^{6x}\times e^{-x}}{e^{2x}}=\dfrac{e^{5x}}{e^{2x}}

A\left(x\right)=e^{3x}

Barème : 1 point.

Question 2

Correction

\text{\purple{Égalité d'exponentielles}}

e^{2x-1}=e^{x+3}

équivaut successivement à :

2x-1=x+3

2x-x=3+1

x=4

Barème : 1 point.

Question 3

Correction

\text{\purple{Inégalité d'exponentielles}}

e^{3x}\geqslant e^{6}

équivaut successivement à :

3x\geqslant 6

x\geqslant 2

S=\left[2;+\infty\right[

Barème : 1,5 point.

Question 4

Correction

\text{\purple{Exponentielle et logarithme}}

Pour tout réel $b>0$ : $e^{X}=b\Longleftrightarrow X=\ln\left(b\right)$ .
La fonction $\ln$ est strictement croissante : pour $b>0$ , $e^{X}>b\Longleftrightarrow X>\ln\left(b\right)$ et $e^{X}\lt b\Longleftrightarrow X\lt \ln\left(b\right)$ .
Si $b\leqslant 0$ : l'équation $e^{X}=b$ n'a pas de solution et l'inéquation $e^{X}>b$ est vraie pour tout réel $X$ , car $e^{X}>0$ .

2e^{x}-6=0

équivaut successivement à :

2e^{x}=6

e^{x}=3

x=\ln\left(3\right)

Barème : 1,5 point.

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