Dérivées et variations avec la fonction $x\mapsto e^{kx}$ - Exercice 1

10 min

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur

\mathbb{R}

Question 1

$f\left(x\right)=e^{3x}$

Correction

\text{\purple{Dérivée de }}\purple{x\mapsto e^{kx}}

Pour tout réel $k$ , la fonction $x\mapsto e^{kx}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\color{red}\boxed{\left(e^{kx}\right)'=k\,e^{kx}}$ .
Si $k>0$ , elle est strictement croissante ; si $k\lt 0$ , elle est strictement décroissante.

Ici

k=3

f'\left(x\right)=3e^{3x}

Question 2

Correction

Ici

k=-2

f'\left(x\right)=5\times\left(-2\right)e^{-2x}

f'\left(x\right)=-10e^{-2x}

Question 3

Correction

La dérivée de

e^{0{,}5x}

est

0{,}5e^{0{,}5x}

et celle de

x

est

1

f'\left(x\right)=0{,}5e^{0{,}5x}-1

Question 4

Correction

La dérivée de

x^{2}

est

2x

et celle de

e^{-x}

est

-e^{-x}

f'\left(x\right)=2x+4\times\left(-e^{-x}\right)

f'\left(x\right)=2x-4e^{-x}

Question 5

Correction

\text{\purple{Dérivée du produit}}

On considère deux fonctions $u$ et $v$ , dérivables sur un intervalle $I$ ; alors $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ .

On pose

u\left(x\right)=2x+1

v\left(x\right)=e^{-x}

, donc

u'\left(x\right)=2

v'\left(x\right)=-e^{-x}

f'\left(x\right)=2e^{-x}+\left(2x+1\right)\times\left(-e^{-x}\right)

f'\left(x\right)=2e^{-x}-2xe^{-x}-e^{-x}

f'\left(x\right)=e^{-x}\left(1-2x\right)

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