Fonction exponentielle de base $e$

Dérivées de la forme exe^{x} - Exercice 3

15 min
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Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
Question 1

f(x)=xexf\left(x\right)=\frac{x}{e^{x} }

Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
  • (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    • f(x)=xexf\left(x\right)=\frac{x}{e^{x} }
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=1×ex−x×ex(ex)2f'(x)=\frac{1\times{e^{x}}-x\times{e^{x}}}{(e^{x})^2}
    f′(x)=1ex−xex(ex)2f'\left(x\right)=\frac{1{\color{blue}{e^{x}}} -x{\color{blue}{e^{x}}}}{(e^{x})^2}
    f′(x)=ex(1−x)(ex)2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}e^x}(1-x)}{(e^{x})^2}
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 2

    f(x)=1+ex3+2exf\left(x\right)=\frac{1+e^{x} }{3+2e^{x} }

    Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
  • (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    • f(x)=1+ex3+2exf\left(x\right)=\frac{1+e^{x} }{3+2e^{x} }
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=1+exu\left(x\right)=1+e^x et v(x)=3+2exv\left(x\right)=3+2e^{x} .
    Ainsi u′(x)=exu'\left(x\right)=e^x et v′(x)=2exv'\left(x\right)=2e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=ex×(3+2ex)−(1+ex)×2ex(3+2ex)2f'(x)=\frac{e^x\times{(3+2e^{x})}-(1+e^x)\times{2e^{x}}}{(3+2e^{x})^2}
    f′(x)=3ex+2ex×ex−(2ex+2ex×ex)(3+2ex)2f'(x)=\frac{3e^x+2e^x\times{e^x}-(2e^x+2e^x\times{e^x})}{(3+2e^{x})^2}
    f′(x)=3ex+2ex×ex−2ex−2ex×ex(3+2ex)2f'(x)=\frac{3e^x+2e^x\times{e^x}-2e^x-2e^x\times{e^x}}{(3+2e^{x})^2}
    f′(x)=3ex+2ex×ex−2ex−2ex×ex(3+2ex)2f'(x)=\frac{3{\color{blue}e^x}+2{e^x}\times{{\color{blue}e^x}}-2{{\color{blue}e^x}}-2{e^x}\times{{\color{blue}e^x}}}{(3+2e^{x})^2}
    f′(x)=ex(3+2ex−2−2ex)(3+2ex)2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}e^x}(3+2e^x-2-2e^x)}{(3+2e^{x})^2}
    f′(x)=1ex(3+2ex)2f'\left(x\right)=\frac{1{\color{blue}e^x}}{(3+2e^{x})^2}
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 3

    f(x)=x+2exf\left(x\right)=\frac{x+2}{e^{x} }

    Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
  • (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    • f(x)=x+2exf\left(x\right)=\frac{x+2}{e^{x} }
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=x+2u\left(x\right)=x+2 et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=1×ex−(x+2)×ex(ex)2f'(x)=\frac{1\times{e^{x}}-(x+2)\times{e^{x}}}{(e^{x})^2}
    f′(x)=1×ex−(xex+2ex)(ex)2f'(x)=\frac{1\times{e^{x}}-(xe^x+2{e^{x}})}{(e^{x})^2}
    f′(x)=1×ex−xex−2ex(ex)2f'(x)=\frac{1\times{e^{x}}-xe^x-2{e^{x}}}{(e^{x})^2}
    f′(x)=1×ex−xex−2ex(ex)2f'(x)=\frac{1\times{{\color{blue}{e^{x}}}}-x{\color{blue}{e^{x}}}-2{\color{blue}e^{x}}}{(e^{x})^2}
    f′(x)=ex(1−x−2)(ex)2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}e^x}(1-x-2)}{(e^{x})^2}
    f′(x)=ex(−x−1)(ex)2f'\left(x\right)=\frac{{\color{blue}e^x}(-x-1)}{(e^{x})^2}
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 4

    f(x)=4+ex5−exf\left(x\right)=\frac{4+e^{x} }{5-e^{x} }

    Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
  • (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    • f(x)=4+ex5−exf\left(x\right)=\frac{4+e^{x} }{5-e^{x} }
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=4+exu\left(x\right)=4+e^x et v(x)=5−exv\left(x\right)=5-e^{x} .
    Ainsi u′(x)=exu'\left(x\right)=e^x et v′(x)=−exv'\left(x\right)=-e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=ex×(5−ex)−(4+ex)×(−ex)(5−ex)2f'(x)=\frac{e^x\times{(5-e^{x})}-(4+e^x)\times{(-e^{x})}}{(5-e^{x})^2}
    f′(x)=5ex−ex×ex−(−4ex−ex×ex)(5−ex)2f'(x)=\frac{5e^x-e^x\times{e^x}-(-4e^x-e^x\times{e^x})}{(5-e^{x})^2}
    f′(x)=5ex−ex×ex+4ex+ex×ex(5−ex)2f'(x)=\frac{5{\color{blue}{e^x}}-e^x\times{{\color{blue}{e^x}}}+4{\color{blue}{e^x}}+e^x\times{{\color{blue}{e^x}}}}{(5-e^{x})^2}
    f′(x)=ex(5−ex+4+ex)(5−ex)2f'(x)=\frac{{\color{blue}{e^x}}(5-e^x+4+e^x)}{(5-e^{x})^2}
    f′(x)=9ex(5−ex)2f'\left(x\right)=\frac{9{\color{blue}e^x}}{(5-e^{x})^2}
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.