Fonction exponentielle de base $e$

Dérivées de la forme exe^{x} - Exercice 2

15 min
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Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
Question 1

f(x)=2xexf\left(x\right)=2xe^{x}

Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
      • Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2xu\left(x\right)=2x et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=2ex+2xexf'\left(x\right)=2{\color{blue}{e^{x}}} +2x{\color{blue}{e^{x}}}
    f′(x)=ex(2+2x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(2+2x\right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 2

    f(x)=(5x+3)exf\left(x\right)=\left(5x+3\right)e^{x}

    Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
      • Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=5x+3u\left(x\right)=5x+3 et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi u′(x)=5u'\left(x\right)=5 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=5ex+(5x+3)exf'\left(x\right)=5{{e^{x}}} +(5x+3){{e^{x}}}
    f′(x)=5ex+5xex+3exf'\left(x\right)=5{\color{blue}{e^{x}}}+5x{\color{blue}{e^{x}}}+3{\color{blue}{e^{x}}}
    f′(x)=ex(5+5x+3)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(5+5x+3\right)
    f′(x)=ex(5x+8)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(5x+8\right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 3

    f(x)=(−3x+2)exf\left(x\right)=\left(-3x+2\right)e^{x}

    Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
      • Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=−3x+2u\left(x\right)=-3x+2 et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi u′(x)=−3u'\left(x\right)=-3 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=−3ex+(−3x+2)exf'\left(x\right)=-3{{e^{x}}} +(-3x+2){{e^{x}}}
    f′(x)=−3ex−3xex+2exf'\left(x\right)=-3{\color{blue}{e^{x}}}-3x{\color{blue}{e^{x}}}+2{\color{blue}{e^{x}}}
    f′(x)=ex(−3−3x+2)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(-3-3x+2\right)
    f′(x)=ex(−3x−1)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(-3x-1\right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 4

    f(x)=(−x+9)exf\left(x\right)=\left(-x+9\right)e^{x}

    Correction
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
      • Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=−x+9u\left(x\right)=-x+9 et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi u′(x)=−1u'\left(x\right)=-1 et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=−1ex+(−x+9)exf'\left(x\right)=-1{\color{blue}{e^{x}}} +(-x+9){\color{blue}{e^{x}}}
    f′(x)=−1ex−xex+9exf'\left(x\right)=-1{\color{blue}{e^{x}}}-x{\color{blue}{e^{x}}}+9{\color{blue}{e^{x}}}
    f′(x)=ex(−1−x+9)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(-1-x+9\right)
    f′(x)=ex(−x+8)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(-x+8\right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 5

    f(x)=x2exf\left(x\right)=x^{2} e^{x}

    Correction
      Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
    On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
    (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
  • (ex)′=ex\left(e^{x} \right)^{'} =e^{x}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=x2u\left(x\right)=x^{2} et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x} .
    Ainsi u′(x)=2xu'\left(x\right)=2x et v′(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=2xex+x2exf'\left(x\right)=2x{\color{blue}{e^{x}}} +x^{2} {\color{blue}{e^{x}}}
    Ainsi :
    f′(x)=ex(2x+x2)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x}}} \left(2x+x^{2} \right)
    Il faut penser à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.