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Dérivées de la forme eue^{u} - Exercice 3

10 min
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Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
Question 1

f(x)=3xex2f\left(x\right)=3xe^{x^{2}}

Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
  • (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=3xu\left(x\right)=3x et v(x)=ex2v\left(x\right)=e^{\blue{x^{2}}} .
    Ainsi : u′(x)=3u'\left(x\right)=3 et v′(x)=2xex2v'\left(x\right)=\red{2x}e^{\blue{x^{2}}} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=3×ex2+3x×(2xex2)f'\left(x\right)=3\times e^{x^{2}} +3x\times \left(2xe^{x^{2}} \right)
    f′(x)=3ex2+6x2ex2f'\left(x\right)=3{\color{blue}{e^{x^{2}}}} +6x^{2}{\color{blue}{e^{x^{2}}}}
    f′(x)=ex2(3+6x2)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x^{2}}}} \left(3+6x^{2}\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 2

    f(x)=(9x−5)ex−6f\left(x\right)=\left(9x-5\right)e^{x-6}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
  • (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    • f(x)=(9x−5)ex−6f\left(x\right)=\left(9x-5\right)e^{x-6}
    ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=9x−5u\left(x\right)=9x-5 et v(x)=ex−6v\left(x\right)=e^{\blue{x-6}} .
    Ainsi : u′(x)=9x−5u'\left(x\right)=9x-5 et v′(x)=1×ex−6v'\left(x\right)=\red{1}\times e^{\blue{x-6}} que l'on écrit : v′(x)=ex−6v'\left(x\right)=e^{x-6}
    Il vient alors que :
    f′(x)=9×ex−6+(9x−5)×ex−6f'\left(x\right)=9\times e^{x-6} +\left(9x-5\right)\times e^{x-6}
    f′(x)=9ex−6+9x×ex−6+(−5)×ex−6f'\left(x\right)=9e^{x-6} +9x\times e^{x-6} +\left(-5\right)\times e^{x-6}
    f′(x)=9ex−6+9xex−6−5ex−6f'\left(x\right)=9{\color{blue}{e^{x-6}}} +9x{\color{blue}{e^{x-6}}} -5{\color{blue}{e^{x-6}}}
    f′(x)=ex−6(9+9x−5)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{x-6}}} \left(9+9x-5\right)
    Ainsi :
    f′(x)=ex−6(9x+4)f'\left(x\right)=e^{x-6} \left(9x+4\right)

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