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Dérivées de la forme eue^{u} - Exercice 2

20 min
40
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
Question 1

f(x)=xe−xf\left(x\right)=xe^{-x}

Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
  • (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{\blue{-x}} .
    Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=\red{-}e^{\blue{-x}} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=1×e−x+x×(−e−x)f'\left(x\right)=1\times e^{-x} +x\times \left(-e^{-x} \right)
    f′(x)=e−x−xe−xf'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}} -x{\color{blue}{e^{-x}}}
    f′(x)=e−x(1−x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}} \left(1-x\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 2

    f(x)=2xe3xf\left(x\right)=2xe^{3x}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
  • (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    • f(x)=2xe3xf\left(x\right)=2xe^{3x}
    ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2xu\left(x\right)=2x et v(x)=e3xv\left(x\right)=e^{\blue{3x}} .
    Ainsi : u′(x)=2u'\left(x\right)=2 et v′(x)=3e3xv'\left(x\right)=\red{3}e^{\blue{3x}} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=2×e3x+2x×3e3xf'\left(x\right)=2\times e^{3x} +2x\times 3e^{3x}
    f′(x)=2e3x+6xe3xf'\left(x\right)=2{\color{blue}{e^{3x}}} +6x{\color{blue}{e^{3x}}}
    f′(x)=e3x(2+6x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{3x}}} \left(2+6x\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 3

    f(x)=5xe4x+1f\left(x\right)=5xe^{4x+1}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
  • (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    • f(x)=5xe4x+1f\left(x\right)=5xe^{4x+1}
    ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=5xu\left(x\right)=5x et v(x)=e4x+1v\left(x\right)=e^{\blue{4x+1}} .
    Ainsi : u′(x)=5u'\left(x\right)=5 et v′(x)=4e4x+1v'\left(x\right)=\red{4}e^{\blue{4x+1}} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=5×e4x+1+5x×4e4x+1f'\left(x\right)=5\times e^{4x+1} +5x\times 4e^{4x+1}
    f′(x)=5e4x+1+20xe4x+1f'\left(x\right)=5{\color{blue}{e^{4x+1}}} +20x{\color{blue}{e^{4x+1}}}
    f′(x)=e4x+1(5+20x)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{4x+1}}} \left(5+20x\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 4

    f(x)=(3x−2)e6xf\left(x\right)=\left(3x-2\right)e^{6x}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
  • (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    • f(x)=(3x−2)e6xf\left(x\right)=\left(3x-2\right)e^{6x}
    ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=3x−2u\left(x\right)=3x-2 et v(x)=e6xv\left(x\right)=e^{\blue{6x}} .
    Ainsi : u′(x)=3u'\left(x\right)=3 et v′(x)=6e6xv'\left(x\right)=\red{6}e^{\blue{6x}} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=3×e6x+(3x−2)×6e6xf'\left(x\right)=3\times e^{6x} +(3x-2)\times 6e^{6x}
    f′(x)=3e6x+3x×6e6x−2×6e6xf'(x)=3e^{6x}+3x\times{6e^{6x}-2\times{6e^{6x}}}
    f′(x)=3e6x+18xe6x−12e6xf'\left(x\right)=3{\color{blue}{e^{6x}}} +18x{\color{blue}{e^{6x}}}-12{\color{blue}{e^{6x}}}
    f′(x)=e6x(3+18x−12)f'(x)={\color{blue}{e^{6x}}}(3+18x-12)
    f′(x)=e6x(18x−9)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{6x}}} \left(18x-9\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.
    Question 5

    f(x)=(4x+1)e2x+5f\left(x\right)=\left(4x+1\right)e^{2x+5}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
  • (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    • f(x)=(4x+1)e2x+5f\left(x\right)=\left(4x+1\right)e^{2x+5}
    ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=4x+1u\left(x\right)=4x+1 et v(x)=e2x+5v\left(x\right)=e^{\blue{2x+5}} .
    Ainsi : u′(x)=4u'\left(x\right)=4 et v′(x)=2e2x+5v'\left(x\right)=\red{2}e^{\blue{2x+5}} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=4×e2x+5+(4x+1)×2e2x+5f'\left(x\right)=4\times e^{2x+5} +(4x+1)\times 2e^{2x+5}
    f′(x)=4e2x+5+4x×2e2x+5+1×2e2x+5f'(x)=4e^{2x+5}+4x\times{2e^{2x+5}+1\times{2e^{2x+5}}}
    f′(x)=4e2x+5+8xe2x+5+2e2x+5f'\left(x\right)=4{\color{blue}{e^{2x+5}}} +8x{\color{blue}{e^{2x+5}}}+2{\color{blue}{e^{2x+5}}}
    f′(x)=e2x+5(4+8x+2)f'(x)={\color{blue}{e^{2x+5}}}(4+8x+2)
    f′(x)=e2x+5(8x+6)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{2x+5}}} \left(8x+6\right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.

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