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Fonction exponentielle de base $e$
Dérivées de la forme
e
u
e^{u}
e
u
- Exercice 1
12 min
25
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
Question 1
f
(
x
)
=
e
5
x
+
2
f\left(x\right)=e^{5x+2}
f
(
x
)
=
e
5
x
+
2
Correction
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
Soit
f
(
x
)
=
e
5
x
+
2
f\left(x\right)=e^{5x+2}
f
(
x
)
=
e
5
x
+
2
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
Ici
u
(
x
)
=
5
x
+
2
\blue{u\left(x\right)=5x+2}
u
(
x
)
=
5
x
+
2
et donc
u
′
(
x
)
=
5
\red{u'\left(x\right)=5}
u
′
(
x
)
=
5
.
D'où :
f
′
(
x
)
=
5
e
5
x
+
2
f'\left(x\right)=\red{5}e^{\blue{5x+2}}
f
′
(
x
)
=
5
e
5
x
+
2
Question 2
f
(
x
)
=
e
−
2
x
+
6
f\left(x\right)=e^{-2x+6}
f
(
x
)
=
e
−
2
x
+
6
Correction
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
Soit
f
(
x
)
=
e
−
2
x
+
6
f\left(x\right)=e^{-2x+6}
f
(
x
)
=
e
−
2
x
+
6
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
Ici
u
(
x
)
=
−
2
x
+
6
\blue{u\left(x\right)=-2x+6}
u
(
x
)
=
−
2
x
+
6
et donc
u
′
(
x
)
=
−
2
\red{u'\left(x\right)=-2}
u
′
(
x
)
=
−
2
.
D'où :
f
′
(
x
)
=
−
2
e
−
2
x
+
6
f'\left(x\right)=\red{-2}e^{\blue{-2x+6}}
f
′
(
x
)
=
−
2
e
−
2
x
+
6
Question 3
f
(
x
)
=
e
3
+
0
,
7
x
f\left(x\right)=e^{3+0,7x}
f
(
x
)
=
e
3
+
0
,
7
x
Correction
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
Soit
f
(
x
)
=
e
3
+
0
,
7
x
f\left(x\right)=e^{3+0,7x}
f
(
x
)
=
e
3
+
0
,
7
x
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
Ici
u
(
x
)
=
3
+
0
,
7
x
\blue{u\left(x\right)=3+0,7x}
u
(
x
)
=
3
+
0
,
7
x
et donc
u
′
(
x
)
=
0
,
7
\red{u'\left(x\right)=0,7}
u
′
(
x
)
=
0
,
7
.
D'où :
f
′
(
x
)
=
0
,
7
e
3
+
0
,
7
x
f'\left(x\right)=\red{0,7}e^{\blue{3+0,7x}}
f
′
(
x
)
=
0
,
7
e
3
+
0
,
7
x
Question 4
f
(
x
)
=
e
−
x
f\left(x\right)=e^{-x}
f
(
x
)
=
e
−
x
Correction
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
Soit
f
(
x
)
=
e
−
x
f\left(x\right)=e^{-x}
f
(
x
)
=
e
−
x
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
Ici
u
(
x
)
=
−
x
\blue{u\left(x\right)=-x}
u
(
x
)
=
−
x
et donc
u
′
(
x
)
=
−
1
\red{u'\left(x\right)=-1}
u
′
(
x
)
=
−
1
.
D'où :
f
′
(
x
)
=
−
1
e
−
x
f'\left(x\right)=\red{-1}e^{\blue{-x}}
f
′
(
x
)
=
−
1
e
−
x
que l'on peut écrire tout simplement :
f
′
(
x
)
=
−
e
−
x
f'\left(x\right)=-e^{-x}
f
′
(
x
)
=
−
e
−
x
Question 5
f
(
x
)
=
3
+
e
4
x
+
1
f\left(x\right)=3+e^{4x+1}
f
(
x
)
=
3
+
e
4
x
+
1
Correction
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
Soit
f
(
x
)
=
3
+
e
4
x
+
1
f\left(x\right)=3+e^{4x+1}
f
(
x
)
=
3
+
e
4
x
+
1
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
Ici
u
(
x
)
=
4
x
+
1
\blue{u\left(x\right)=4x+1}
u
(
x
)
=
4
x
+
1
et donc
u
′
(
x
)
=
4
\red{u'\left(x\right)=4}
u
′
(
x
)
=
4
.
D'où :
f
′
(
x
)
=
4
e
4
x
+
1
f'\left(x\right)=\red{4}e^{\blue{4x+1}}
f
′
(
x
)
=
4
e
4
x
+
1
Question 6
f
(
x
)
=
e
5
x
−
9
x
f\left(x\right)=e^{5x} -9x
f
(
x
)
=
e
5
x
−
9
x
Correction
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
\left(e^{\blue{u}} \right)^{'} =\red{u'}e^{\blue{u}}
(
e
u
)
′
=
u
′
e
u
Soit
f
(
x
)
=
e
5
x
−
9
x
f\left(x\right)=e^{5x}-9x
f
(
x
)
=
e
5
x
−
9
x
f
f
f
est dérivable sur
R
\mathbb{R}
R
.
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
est de la forme
e
u
(
x
)
−
a
x
\color{black}e^{u(x)}-ax
e
u
(
x
)
−
a
x
d'où :
f
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
e
u
(
x
)
+
a
f'(x)=u'(x)e^{u(x)}+a
f
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
e
u
(
x
)
+
a
Ici
u
(
x
)
=
5
x
\blue{u\left(x\right)=5x}
u
(
x
)
=
5
x
, donc
u
′
(
x
)
=
5
\red{u'\left(x\right)=5}
u
′
(
x
)
=
5
et
a
=
9.
a=9.
a
=
9.
D'où :
f
′
(
x
)
=
5
e
5
x
−
9
f'\left(x\right)=\red{5}e^{\blue{5x}}-9
f
′
(
x
)
=
5
e
5
x
−
9