Croissances comparées : limites de ekxxn\dfrac{e^{kx}}{x^{n}} et de xne−kxx^{n}e^{-kx} - Exercice 1

10 min
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Déterminer les limites suivantes.
Question 1

lim⁡x→+∞e2xx3\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{e^{2x}}{x^{3}}

Correction
    Croissances compareˊes\text{\purple{Croissances comparées}}
  • Pour tout entier naturel nn non nul : lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty et lim⁡x→+∞xne−x=0\lim\limits_{x\to +\infty } x^{n}e^{-x}=0.
  • Plus généralement, pour tout réel k>0k>0 : lim⁡x→+∞ekxxn=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{e^{kx}}{x^{n}}=+\infty et lim⁡x→+∞xne−kx=0\lim\limits_{x\to +\infty } x^{n}e^{-kx}=0.
  • En +∞+\infty, l’exponentielle l’emporte sur les puissances de x{\color{blue}{\text{l'exponentielle l'emporte sur les puissances de x}}}.
Ici k=2>0k=2>0 et n=3n=3 :
lim⁡x→+∞e2xx3=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{e^{2x}}{x^{3}}=+\infty
Question 2

lim⁡x→+∞x4e−3x\lim\limits_{x\to +\infty } x^{4}e^{-3x}

Correction
Ici k=3>0k=3>0 et n=4n=4 :
lim⁡x→+∞x4e−3x=0\lim\limits_{x\to +\infty } x^{4}e^{-3x}=0
Question 3

lim⁡x→+∞e0,5xx2\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{e^{0{,}5x}}{x^{2}}

Correction
Ici k=0,5>0k=0{,}5>0 et n=2n=2 :
lim⁡x→+∞e0,5xx2=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{e^{0{,}5x}}{x^{2}}=+\infty
Question 4

lim⁡x→+∞5x2e−0,1x\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{2}e^{-0{,}1x}

Correction
D'après les croissances comparées (k=0,1k=0{,}1 et n=2n=2), lim⁡x→+∞x2e−0,1x=0\lim\limits_{x\to +\infty } x^{2}e^{-0{,}1x}=0. Ainsi :
lim⁡x→+∞5x2e−0,1x=0\lim\limits_{x\to +\infty } 5x^{2}e^{-0{,}1x}=0

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