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Composition de fonctions et dérivations

Les dérivées composées : La forme sin⁡(u)\sin \left(u\right) - Exercice 1

10 min
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Deˊriveˊes avec la fonction sinus .\red{\text{Dérivées avec la fonction sinus .}}
Question 1
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.

f(x)=sin⁡(7x+3)f\left(x\right)=\sin \left(7x+3\right)

Correction
  • (sin⁡(u))′=u′cos⁡(u)\left(\sin \left(u\right)\right)^{'} =u'\cos \left(u\right)
    • On reconnaît ici sin⁡(u)\sin \left(u\right) où u(x)=7x+3u\left(x\right)=7x+3 . Ainsi u′(x)=7u'\left(x\right)=7.
    Il en résulte que :
    f′(x)=7cos⁡(7x+3)f'\left(x\right)=7\cos\left(7x+3\right)
    Question 2

    f(x)=sin⁡(−5x+4)f\left(x\right)=\sin \left(-5x+4\right)

    Correction
  • (sin⁡(u))′=u′cos⁡(u)\left(\sin \left(u\right)\right)^{'} =u'\cos \left(u\right)
    • On reconnaît ici sin⁡(u)\sin \left(u\right) où u(x)=−5x+4u\left(x\right)=-5x+4 . Ainsi u′(x)=−5u'\left(x\right)=-5.
    Il en résulte que :
    f′(x)=−5cos⁡(−5x+4)f'\left(x\right)=-5\cos\left(-5x+4\right)
    Question 3

    f(x)=sin⁡(x2−6x+2)f\left(x\right)=\sin \left(x^{2}-6x+2\right)

    Correction
  • (sin⁡(u))′=u′cos⁡(u)\left(\sin \left(u\right)\right)^{'} =u'\cos \left(u\right)
    • On reconnaît ici sin⁡(u)\sin \left(u\right) où u(x)=x2−6x+2u\left(x\right)=x^{2}-6x+2 . Ainsi u′(x)=2x−6u'\left(x\right)=2x-6.
    Il en résulte que :
    f′(x)=(2x−6)cos⁡(x2−6x+2)f'\left(x\right)=\left(2x-6\right)\cos\left(x^{2}-6x+2\right)
    Question 4

    f(x)=2sin⁡(3x−π6)f\left(x\right)=2\sin \left(3x-\frac{\pi }{6} \right)

    Correction
  • (sin⁡(u))′=u′cos⁡(u)\left(\sin \left(u\right)\right)^{'} =u'\cos \left(u\right)
    • On reconnaît ici sin⁡(u)\sin \left(u\right) où u(x)=3x−π6u\left(x\right)=3x-\frac{\pi }{6} . Ainsi u′(x)=3u'\left(x\right)=3.
    Il en résulte que :
    f′(x)=2×3×cos⁡(3x−π6) f'\left(x\right)=2\times 3\times \cos \left(3x-\frac{\pi }{6} \right)
    Finalement :
    f′(x)=6cos⁡(3x−π6)f'\left(x\right)=6\cos \left(3x-\frac{\pi }{6} \right)
    Question 5

    f(x)=sin⁡3(2x+4)f\left(x\right)=\sin ^{3} \left(2x+4\right)

    Correction
  • (sin⁡(u))′=u′cos⁡(u)\left(\sin \left(u\right)\right)^{'} =u'\cos \left(u\right)
  • (un)′=n×u′×un−1\left(u^{n} \right)^{'} =n\times u'\times u^{n-1}
    • On peut écrire ff sous la forme f(x)=[sin⁡(2x+4)]3f\left(x\right)=\left[\sin \left(2x+4\right)\right]^{3}
    On reconnaît ici unu^{n} où u(x)=sin⁡(2x+4)u\left(x\right)=\sin \left(2x+4\right) et n=3n=3. Ainsi u′(x)=2cos⁡(2x+4)u'\left(x\right)=2\cos \left(2x+4\right).
    Il en résulte que :
    f′(x)=3×(2cos⁡(2x+4))×sin⁡2(2x+4)f'\left(x\right)=3\times \left(2\cos \left(2x+4\right)\right)\times \sin ^{2} \left(2x+4\right)
    Finalement :
    f′(x)=6cos⁡(2x+4)sin⁡2(2x+4)f'\left(x\right)=6\cos \left(2x+4\right)\sin ^{2} \left(2x+4\right)

    Question 6

    f(x)=9sin⁡(πx−π4)f\left(x\right)=9\sin \left(\pi x-\frac{\pi }{4} \right)

    Correction
  • (sin⁡(u))′=u′cos⁡(u)\left(\sin \left(u\right)\right)^{'} =u'\cos \left(u\right)
    • On reconnaît ici sin⁡(u)\sin \left(u\right) où u(x)=πx−π4u\left(x\right)=\pi x-\frac{\pi }{4} . Ainsi u′(x)=πu'\left(x\right)=\pi.
    Il en résulte que :
    f′(x)=9×π×cos⁡(πx−π4) f'\left(x\right)=9\times \pi\times \cos \left(\pi x-\frac{\pi }{4} \right)
    Finalement :
    f′(x)=9πcos⁡(πx−π4)f'\left(x\right)=9\pi\cos \left(\pi x-\frac{\pi }{4} \right)