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Les dérivées composées : La forme ln⁡(u)\ln\left(u\right) - Exercice 1

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Deˊriveˊes avec la fonction logarithme neˊpeˊrien .\red{\text{Dérivées avec la fonction logarithme népérien .}}
Question 1
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle II. On ne vous demande pas de déterminer II. Calculer la dérivée de la fonction ff dans chacun des cas.

f(x)=ln⁡(6x+5)f\left(x\right)=\ln \left(6x+5\right)

Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On reconnaît ici ln⁡(u)\ln \left(u\right) où u(x)=6x+5u\left(x\right)=6x+5 . Ainsi : u′(x)=6u'\left(x\right)=6.
    Il en résulte donc que :
    f′(x)=66x+5f'\left(x\right)=\frac{6}{6x+5}

    Question 2

    f(x)=ln⁡(−3x+4)f\left(x\right)=\ln \left(-3x+4\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On reconnaît ici ln⁡(u)\ln \left(u\right) où u(x)=−3x+4u\left(x\right)=-3x+4 . Ainsi : u′(x)=−3u'\left(x\right)=-3.
    Il en résulte donc que :
    f′(x)=−3−3x+4f'\left(x\right)=\frac{-3}{-3x+4}
    Question 3

    f(x)=ln⁡(3x2+2x+5)f\left(x\right)=\ln \left(3x^{2}+2x+5\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On reconnaît ici ln⁡(u)\ln \left(u\right) où u(x)=3x2+2x+5u\left(x\right)=3x^{2}+2x+5 . Ainsi : u′(x)=6x+2u'\left(x\right)=6x+2.
    Il en résulte donc que :
    f′(x)=6x+23x2+2x+5f'\left(x\right)=\frac{6x+2}{3x^{2}+2x+5}
    Question 4

    f(x)=3ln⁡(4x+6)f\left(x\right)=3\ln \left(4x+6\right)

    Correction
  • (ln⁡(u))′=u′u\left(\ln \left(u\right)\right)^{'} =\frac{u'}{u}
    • On reconnaît ici ln⁡(u)\ln \left(u\right) où u(x)=4x+6u\left(x\right)=4x+6 . Ainsi : u′(x)=4u'\left(x\right)=4.
    Il en résulte donc que :
    f′(x)=3×44x+6f'\left(x\right)=3\times \frac{4}{4x+6}
    Finalement :
    f′(x)=124x+6f'\left(x\right)=\frac{12}{4x+6}

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