🔴  Lives #BAC2024

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Composition de fonctions et dérivations

Les dérivées composées : La forme eue^{u} - Exercice 1

12 min
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Deˊriveˊes avec la fonction exponentielle de base e .\red{\text{Dérivées avec la fonction exponentielle de base e .}}
Question 1

f(x)=e7x+3f\left(x\right)=e^{7x+3}

Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=7x+3u\left(x\right)=7x+3 et donc u′(x)=7u'\left(x\right)=7.
    D'où
    f′(x)=7e7x+3f'\left(x\right)=7e^{7x+3}
    Question 2

    f(x)=e−5x+2f\left(x\right)=e^{-5x+2}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=−5x+2u\left(x\right)=-5x+2 et donc u′(x)=−5u'\left(x\right)=-5.
    D'où
    f′(x)=−5e−5x+2f'\left(x\right)=-5e^{-5x+2}
    Question 3

    f(x)=2e−xf\left(x\right)=2e^{-x}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=−xu\left(x\right)=-x et donc u′(x)=−1u'\left(x\right)=-1.
    D'où
    f′(x)=−2e−xf'\left(x\right)=-2e^{-x}
    Question 4

    f(x)=3e2x+5f\left(x\right)=3e^{2x+5}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=2x+5u\left(x\right)=2x+5 et donc u′(x)=2u'\left(x\right)=2.
    D'où f′(x)=3×2×e2x+5⇔f'\left(x\right)=3\times 2\times e^{2x+5} \Leftrightarrow
    f′(x)=6e2x+5f'\left(x\right)=6e^{2x+5}
    Question 5

    f(x)=5ex2+x+1f\left(x\right)=5e^{x^{2} +x+1}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici u(x)=x2+x+1u\left(x\right)=x^{2}+x+1 et donc u′(x)=2x+1u'\left(x\right)=2x+1.
    f′(x)=5(2x+1)ex2+x+1f'\left(x\right)=5\left(2x+1\right)e^{x^{2} +x+1}
    Question 6

    f(x)=x2e−xf\left(x\right)=x^{2} e^{-x}

    Correction
  • (eu)′=u′eu\left(e^{u} \right)^{'} =u'e^{u}
    • ff est dérivable sur R\mathbb{R}.
    Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=x2u\left(x\right)=x^{2} et v(x)=e−xv\left(x\right)=e^{-x} .
    Ainsi u′(x)=2xu'\left(x\right)=2x et v′(x)=−e−xv'\left(x\right)=-e^{-x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=2xe−x+x2×(−e−x)f'\left(x\right)=2xe^{-x} +x^{2} \times \left(-e^{-x} \right)
    f′(x)=2xe−x−x2e−xf'\left(x\right)=2x{\color{blue}{e^{-x}}} -x^{2} {\color{blue}{e^{-x}}}
    f′(x)=e−x(2x−x2)f'\left(x\right)={\color{blue}{e^{-x}}} \left(2x-x^{2} \right)
    Pensez à factoriser par les exponentielles afin de faciliter les études de signes que l'on verra par la suite.