Les dérivées composées : La forme cos(u) - Exercice 1
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Deˊriveˊes avec la fonction cosinus .
Question 1
Dans cet exercice, on considère que la fonction étudiée est dérivable sur un intervalle I. On ne vous demande pas de déterminer I. Calculer la dérivée de la fonction f dans chacun des cas.
f(x)=cos(6x+5)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=6x+5 . Ainsi u′(x)=6. Il en résulte que :
f′(x)=−6sin(6x+5)
Question 2
f(x)=cos(−3x+1)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=−3x+1 . Ainsi u′(x)=−3. Il en résulte que : f′(x)=−(−3)sin(−3x+1) Ainsi :
f′(x)=3sin(−3x+1)
Question 3
f(x)=cos(x2−3x+5)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=x2−3x+5 . Ainsi u′(x)=2x−3. Il en résulte que :
f′(x)=−(2x−3)sin(x2−3x+5)
Question 4
f(x)=2cos(πx+3π)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=πx+3π . Ainsi u′(x)=π. Il en résulte que : f′(x)=2×(−π)×sin(πx+3π) Finalement :
f′(x)=−2πsin(πx+3π)
Question 5
f(x)=cos5(2x−1)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
(un)′=n×u′×un−1
On peut écrire f sous la forme f(x)=[cos(2x−1)]5 On reconnaît ici un où u(x)=cos(2x−1) et n=5. Ainsi u′(x)=−2sin(2x−1). Il en résulte que : f′(x)=5×(−2sin(2x−1))×cos5−1(2x−1) f′(x)=5×(−2sin(2x−1))×cos4(2x−1) Finalement :
f′(x)=−10sin(2x−1)cos4(2x−1)
Question 6
f(x)=4cos(3πx+5)
Correction
(cos(u))′=−u′sin(u)
On reconnaît ici cos(u) où u(x)=3πx+5 . Ainsi u′(x)=3π. Il en résulte que : f′(x)=4×(−3π)×sin(3πx+5) Finalement :