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Exprimer en fonction de xx la composée de deux fonctions - Exercice 1

5 min
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Soient ff et gg les fonctions définies par f(x)=2x+6f\left(x\right)=2x+6 et g(x)=x2+4g\left(x\right)=x^{2} +4 .
Question 1

Calculer (f∘g)(x)\left(f\circ g\right)\left(x\right) en fonction de xx .

Correction
(f∘g)(x)=f(g(x))\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)
f(g(x))f\left(\red{g\left(x\right)}\right) se définit comme l'image de g(x)\red{g\left(x\right)} par la fonction ff. Calculatoirement, il suffit de remplacer les xx par g(x)\red{g\left(x\right)} dans l'expression de ff.
(f∘g)(x)=f(g(x))\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(\red{g\left(x\right)}\right)
(f∘g)(x)=2g(x)+6\left(f\circ g\right)\left(x\right)=2\red{g\left(x\right)}+6
(f∘g)(x)=2×(x2+4)+6\left(f\circ g\right)\left(x\right)=2\times \red{\left(x^{2} +4\right)}+6
(f∘g)(x)=2x2+8+6\left(f\circ g\right)\left(x\right)=2x^{2} +8+6
Ainsi :
(f∘g)(x)=2x2+14\left(f\circ g\right)\left(x\right)=2x^{2} +14

Question 2

Calculer (g∘f)(x)\left(g\circ f\right)\left(x\right) en fonction de xx .

Correction
(g∘f)(x)=g(f(x))\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)
g(f(x))g\left(\blue{f\left(x\right)}\right) se définit comme l'image de f(x)\blue{f\left(x\right)} par la fonction gg. Calculatoirement, il suffit de remplacer les xx par f(x)\blue{f\left(x\right)} dans l'expression de gg.
(g∘f)(x)=g(f(x))\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(\blue{f\left(x\right)}\right)
(g∘f)(x)=(f(x))2+4\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\left(\blue{f\left(x\right)}\right)^{2}+4
(g∘f)(x)=(2x+6)2+4\left(g\circ f\right)\left(x\right)=\left(\blue{2x+6}\right)^{2} +4
(g∘f)(x)=4x2+24x+36+4\left(g\circ f\right)\left(x\right)=4x^{2} +24x+36+4
Ainsi :
(g∘f)(x)=4x2+24x+40\left(g\circ f\right)\left(x\right)=4x^{2}+24x+40

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