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Composition de fonctions et dérivations
Calculer l'image d'un nombre par une fonction composée - Exercice 2
1 min
0
Soient
f
f
f
et
g
g
g
les fonctions définies par
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
f\left(x\right)=\cos\left(x\right)
f
(
x
)
=
cos
(
x
)
et
g
(
x
)
=
x
g\left(x\right)=\sqrt{x}
g
(
x
)
=
x
Question 1
Calculer
(
f
∘
g
)
(
0
)
\left(f\circ g\right)\left(0\right)
(
f
∘
g
)
(
0
)
.
Correction
(
f
∘
g
)
(
0
)
=
f
(
g
(
0
)
)
\left(f\circ g\right)\left(0\right)=f\left(g\left(0\right)\right)
(
f
∘
g
)
(
0
)
=
f
(
g
(
0
)
)
. Or
g
(
0
)
=
0
g\left(0\right)=\sqrt{0}
g
(
0
)
=
0
ainsi
g
(
0
)
=
0
g\left(0\right)=\red{0}
g
(
0
)
=
0
D'où :
(
f
∘
g
)
(
0
)
=
f
(
0
)
\left(f\circ g\right)\left(0\right)=f\left(\red{0}\right)
(
f
∘
g
)
(
0
)
=
f
(
0
)
(
f
∘
g
)
(
0
)
=
cos
(
0
)
\left(f\circ g\right)\left(0\right)=\cos\left(\red{0}\right)
(
f
∘
g
)
(
0
)
=
cos
(
0
)
Ainsi :
(
f
∘
g
)
(
0
)
=
1
\left(f\circ g\right)\left(0\right)=1
(
f
∘
g
)
(
0
)
=
1
Question 2
Calculer
(
g
∘
f
)
(
π
3
)
\left(g\circ f\right)\left(\frac{\pi}{3}\right)
(
g
∘
f
)
(
3
π
)
.
Correction
(
g
∘
f
)
(
π
3
)
=
g
(
f
(
π
3
)
)
\left(g\circ f\right)\left(\frac{\pi}{3}\right)=g\left(f\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)
(
g
∘
f
)
(
3
π
)
=
g
(
f
(
3
π
)
)
. Or
f
(
π
3
)
=
cos
(
π
3
)
f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)
f
(
3
π
)
=
cos
(
3
π
)
ainsi
f
(
π
3
)
=
1
2
f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\red{\frac{1}{2}}
f
(
3
π
)
=
2
1
D'où :
(
g
∘
f
)
(
π
3
)
=
g
(
1
2
)
\left(g\circ f\right)\left(\frac{\pi}{3}\right)=g\left(\red{\frac{1}{2}}\right)
(
g
∘
f
)
(
3
π
)
=
g
(
2
1
)
(
g
∘
f
)
(
π
3
)
=
1
2
\left(g\circ f\right)\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{\red{\frac{1}{2}}}
(
g
∘
f
)
(
3
π
)
=
2
1
(
g
∘
f
)
(
π
3
)
=
1
2
\left(g\circ f\right)\left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{\sqrt{1} }{\sqrt{2} }
(
g
∘
f
)
(
3
π
)
=
2
1
(
g
∘
f
)
(
π
3
)
=
1
2
\left(g\circ f\right)\left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{\sqrt{2} }
(
g
∘
f
)
(
3
π
)
=
2
1
(
g
∘
f
)
(
π
3
)
=
1
×
2
2
×
2
\left(g\circ f\right)\left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1\times \sqrt{2} }{\sqrt{2} \times \sqrt{2} }
(
g
∘
f
)
(
3
π
)
=
2
×
2
1
×
2
(
g
∘
f
)
(
π
3
)
=
2
(
2
)
2
\left(g\circ f\right)\left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{\sqrt{2} }{\left(\sqrt{2} \right)^{2} }
(
g
∘
f
)
(
3
π
)
=
(
2
)
2
2
Ainsi :
(
g
∘
f
)
(
π
3
)
=
2
2
\left(g\circ f\right)\left(\frac{\pi }{3} \right)=\frac{\sqrt{2} }{2}
(
g
∘
f
)
(
3
π
)
=
2
2