Fonction logarithme décimal

Résoudre une équation de la forme ax=ba^{x}=b - Exercice 2

9 min
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Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes. Il faudra la valeur exacte puis la valeur approchée à 10210^{-2} près.
Question 1

5×2x=10005\times 2^{x} =1000

Correction
5×2x=10005\times 2^{x} =1000
2x=100052^{x} =\frac{1000}{5}
2x=2002^{x} =200
2x=2002^{x} =200 équivaut successivement à :
  • A=Blog(A)=log(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
  • log(2x)=log(200)\log \left(2^{x} \right)=\log \left(200\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log(xn)=nlog(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
  • xlog(2)=log(200)x\log \left(2\right)=\log \left(200\right)
    D'où :
    x=log(200)log(2)x=\frac{\log \left(200\right)}{\log \left(2\right)}
    valeur exacte \red{\text{valeur exacte }}
    Or : log(200)log(2)7,6438\frac{\log \left(200\right)}{\log \left(2\right)} \approx 7,6438
    Ainsi :
    x7,64x\approx 7,64
    valeur approcheˊaˋ \red{\text{valeur approchée à }} 102\red{10^{-2}} preˋ\red{\text{près }}
    Question 2

    3×6x1=9983\times 6^{x} -1=998

    Correction
    3×6x1=9983\times 6^{x} -1=998
    3×6x=998+13\times 6^{x}=998+1
    6x=99936^{x} =\frac{999}{3}
    6x=3336^{x} =333
    6x=3336^{x} =333 équivaut successivement à :
  • A=Blog(A)=log(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
  • log(6x)=log(333)\log \left(6^{x} \right)=\log \left(333\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log(xn)=nlog(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
  • xlog(6)=log(333)x\log \left(6\right)=\log \left(333\right)
    D'où :
    x=log(333)log(6)x=\frac{\log \left(333\right)}{\log \left(6\right)}
    valeur exacte \red{\text{valeur exacte }}
    Or : log(333)log(6)3,241\frac{\log \left(333\right)}{\log \left(6\right)} \approx 3,241
    Ainsi :
    x3,24x\approx 3,24
    valeur approcheˊaˋ \red{\text{valeur approchée à }} 102\red{10^{-2}} preˋ\red{\text{près }}
    Question 3

    2×3x7=4732\times 3^{x} -7=473

    Correction
    2×3x7=4732\times 3^{x} -7=473
    2×3x=473+72\times 3^{x} =473+7
    2×3x=4802\times 3^{x}=480
    3x=48023^{x}=\frac{480}{2}
    3x=2403^{x}=240
    3x=2403^{x} =240 équivaut successivement à :
  • A=Blog(A)=log(B)A=B\Leftrightarrow \log \left(A\right)=\log \left(B\right)
  • log(3x)=log(240)\log \left(3^{x} \right)=\log \left(240\right)
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log(xn)=nlog(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
  • xlog(3)=log(240)x\log \left(3\right)=\log \left(240\right)
    D'où :
    x=log(240)log(3)x=\frac{\log \left(240\right)}{\log \left(3\right)}
    valeur exacte \red{\text{valeur exacte }}
    Or : log(240)log(3)4,988\frac{\log \left(240\right)}{\log \left(3\right)} \approx 4,988
    Ainsi :
    x4,99x\approx 4,99
    valeur approcheˊaˋ \red{\text{valeur approchée à }} 102\red{10^{-2}} preˋ\red{\text{près }}