Propriétés algébriques du logarithme décimal - Exercice 2

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Question 1
Ecrire les nombres suivants sous la forme alog⁡(2)a\log \left(2\right) où aa est un réel .

A=log⁡(8)A=\log \left(8\right)

Correction
    Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
    • A=log⁡(8)A=\log \left(8\right)
    A=log⁡(23)A=\log \left(2^{3} \right)
    Ainsi :
    A=3log⁡(2)A=3\log \left(2\right)

    Question 2

    B=log⁡(16)+log⁡(4)B=\log \left(16\right)+\log \left(4\right)

    Correction
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
    • B=log⁡(16)+log⁡(4)B=\log \left(16\right)+\log \left(4\right)
    B=log⁡(24)+log⁡(22)B=\log \left(2^{4} \right)+\log \left(2^{2} \right)
    B=4log⁡(2)+2log⁡(2)B=4\log \left(2\right)+2\log \left(2\right)
    Ainsi :
    B=6log⁡(2)B=6\log \left(2\right)

    Question 3

    C=log⁡(0,125)+log⁡(64)C=\log \left(0,125\right)+\log \left(64\right)

    Correction
      Soient xx un réel strictement positif et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
  • log⁡(1x)=−log⁡(x)\log \left(\frac{1}{x} \right)=-\log \left(x\right)
    • C=log⁡(0,125)+log⁡(64)C=\log \left(0,125\right)+\log \left(64\right)
    C=log⁡(18)+log⁡(26)C=\log \left(\frac{1}{8} \right)+\log \left(2^{6} \right)
    C=−log⁡(8)+log⁡(26)C=-\log \left(8\right)+\log \left(2^{6} \right)
    C=−log⁡(23)+log⁡(26)C=-\log \left(2^{3} \right)+\log \left(2^{6} \right)
    C=−3log⁡(2)+6log⁡(2)C=-3\log \left(2\right)+6\log \left(2\right)
    Ainsi :
    C=3log⁡(2)C=3\log \left(2\right)

    Question 4

    D=log⁡(48)−log⁡(12)D=\log \left(48\right)-\log \left(12\right)

    Correction
      Soient xx et yy deux réels strictement positifs et nn un entier relatif . On a alors :
  • log⁡(xn)=nlog⁡(x)\log \left(x^{n} \right)=n\log \left(x\right)
  • log⁡(xy)=log⁡(x)+log⁡(y)\log \left(xy\right)=\log \left(x\right)+\log \left(y\right)
    • D=log⁡(48)−log⁡(12)D=\log \left(48\right)-\log \left(12\right)
    D=log⁡(16×3)−log⁡(4×3)D=\log \left(16\times 3\right)-\log \left(4\times 3\right)
    D=log⁡(16)+log⁡(3)−(log⁡(4)+log⁡(3))D=\log \left(16\right)+\log \left(3\right)-\left(\log \left(4\right)+\log \left(3\right)\right)
    D=log⁡(16)+log⁡(3)−log⁡(4)−log⁡(3)D=\log \left(16\right)+\log \left(3\right)-\log \left(4\right)-\log \left(3\right)
    D=log⁡(16)−log⁡(4)D=\log \left(16\right)-\log \left(4\right)
    D=log⁡(24)−log⁡(22)D=\log \left(2^{4} \right)-\log \left(2^{2} \right)
    D=4log⁡(2)−2log⁡(2)D=4\log \left(2\right)-2\log \left(2\right)
    Ainsi :
    D=2log⁡(2)D=2\log \left(2\right)

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