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Montrer que trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique - Exercice 1

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Dans chacun des cas suivants, démontrer si les trois nombres donnés sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique.
Question 1

u0=3u_{0} =3 ; u1=5u_{1} =5 et u2=7u_{2} =7

Correction
Soient trois nombres réels notés u0u_{0} ; u1u_{1} et u2u_{2} .
Ces trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique si
u1u0=u2u1u_1-u_0=u_2-u_1
Nous allons donc calculer u1u0u_1-u_0 puis u2u1u_2-u_1.
Cela nous donne :
  • u1u0=53=2u_1-u_0=5-3=2
  • u2u1=75=2u_2-u_1=7-5=2
  • Il vient alors que :
    u1u0=u2u1u_1-u_0=u_2-u_1

    Les trois nombres u0=3u_{0} =3 ; u1=5u_{1} =5 et u2=7u_{2} =7 sont bien les termes consécutifs d'une suite arithmétique.
    Question 2

    u0=1u_{0} =-1 ; u1=4u_{1} =4 et u2=8u_{2} =8

    Correction
    Soient trois nombres réels notés u0u_{0} ; u1u_{1} et u2u_{2} .
    Ces trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique si
    u1u0=u2u1u_1-u_0=u_2-u_1
    Nous allons donc calculer u1u0u_1-u_0 puis u2u1u_2-u_1.
    Cela nous donne :
  • u1u0=4(1)=5u_1-u_0=4-\left(-1\right)=5
  • u2u1=84=4u_2-u_1=8-4=4
  • Il vient alors que : u1u0u2u1\boxed{u_1-u_0\ne{u_2-u_1}}
    Les trois nombres u0=1u_{0} =-1 ; u1=4u_{1} =4 et u2=8u_{2} =8 ne sont pas les termes consécutifs d'une suite arithmétique.