Suites

Exercices types : 22ème partie - Exercice 2

35 min
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Soit la suite numérique (un)(u_{n}) définie sur NN par u0=2u_{0} =2 et pour tout entier naturel nn, un+1=23un+13n+1u_{n+1} =\frac{2}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1
Question 1

Calculer u1u_{1}, u2u_{2}, u3u_{3} et u4u_{4}
On pourra en donner des valeurs approchées à 10210^{-2} près.

Correction
u1=23u0+13×0+1u_{1} =\frac{2}{3} u_{0} +\frac{1}{3} \times 0+1 donc u1=23×2+13×0+1u_{1} =\frac{2}{3} \times 2+\frac{1}{3} \times 0+1 ainsi : u12,33u_{1} \approx 2,33
u2=23u1+13×1+1u_{2} =\frac{2}{3} u_{1} +\frac{1}{3} \times 1+1 ainsi : u22,89u_{2} \approx 2,89
u3=23u2+13×2+1u_{3} =\frac{2}{3} u_{2} +\frac{1}{3} \times 2+1 ainsi : u33,59u_{3} \approx 3,59
u4=23u3+13×3+1u_{4} =\frac{2}{3} u_{3} +\frac{1}{3} \times 3+1 ainsi : u44,40u_{4} \approx 4,40
Question 2

Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

Correction
On peut conjecturer que la suite est croissante.
Question 3
On admet que pour tout entier naturel nn, unn+3u_{n} \le n+3.

Démontrer que pour tout entier naturel nn, un+1un=13(n+3un)u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{3} (n+3-u_{n} )

Correction
un+1un=23un+13n+1unu_{n+1} -u_{n} =\frac{2}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1-u_{n}
un+1un=13un+13n+1u_{n+1} -u_{n} =-\frac{1}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1
un+1un=13un+13n+33u_{n+1} -u_{n} =-\frac{1}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+\frac{3}{3} (nous mettons tout au même dénominateur pour factoriser ensuite par 13\frac{1}{3})
un+1un=13(un+n+3)u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{3} \left(-u_{n} +n+3\right) qui s'écrit également :
un+1un=13(n+3un)u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{3} \left(n+3-u_{n} \right)
Question 4

En déduire une validation de la conjecture précédente.

Correction
Comme on l'a montré à la question précédente, pour tout nn naturel, on a un unn+3u_{n} \le n+3 ce qui équivaut à dire que la différence n+3unn+3-u_{n} est positive, et elle le reste en étant multipliée par 13\frac{1}{3} , donc la différence entre deux termes consécutifs étant positive, on confirme bien que notre conjecture était correcte : la suite (un)nN\left(u_{n} \right)_{n \in N} est bien croissante, dès le rang 0.
Question 5
On désigne par (vn)(v_{n} ) la suite définie sur NN par vn=unnv_{n} =u_{n} -n

Démontrer que la suite (vn)(v_{n} ) est une suite géométrique de raison 23\frac{2}{3}

Correction
vn=unnv_{n} =u_{n} -n
vn+1=un+1(n+1)v_{n+1} =u_{n+1} -\left(n+1\right)
vn+1=un+1n1v_{n+1} =u_{n+1} -n-1
Or : un+1=23un+13n+1u_{n+1} =\frac{2}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1
vn+1=23un+13n+1n1v_{n+1} =\frac{2}{3} u_{n} +\frac{1}{3} n+1-n-1
vn+1=23un23nv_{n+1} =\frac{2}{3} u_{n} -\frac{2}{3} n
Or : vn=unnv_{n} =u_{n} -n
Donc : vn+n=unv_{n} +n=u_{n}
Il vient alors que :
vn+1=23(vn+n)23nv_{n+1} =\frac{2}{3} \left(v_{n} +n\right)-\frac{2}{3} n
vn+1=23(vn+n)23nv_{n+1} =\frac{2}{3} \left(v_{n} +n\right)-\frac{2}{3} n
vn+1=23×vn+23×n23nv_{n+1} =\frac{2}{3} \times v_{n} +\frac{2}{3} \times n-\frac{2}{3} n
vn+1=23vnv_{n+1} =\frac{2}{3} v_{n}
Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=23q=\frac{2}{3} et de premier terme v0=u00v_{0} =u_{0} -0 donc v0=2v_{0} =2
Question 6

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=2(23)n+nu_{n} =2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} +n

Correction
Tout d'abord, l'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi : vn=2×(23)nv_{n} =2\times \left(\frac{2}{3} \right)^{n}
Ensuite, on sait que : vn=unnv_{n} =u_{n} -n
Donc : un=vn+nu_{n} =v_{n} +n
Il vient alors que : un=2(23)n+nu_{n} =2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} +n
Question 7
Pour tout entier naturel non nul nn, on pose Sn=k=0nuk=u0+u1+...+unS_{n} =\sum _{k=0}^{n}u_{k} =u_{0} +u_{1} +...+u_{n}

Exprimer en fonction de nn les sommes An=k=0n2(23)k=2+2(23)1+2(23)2+...+2(23)nA_{n} =\sum _{k=0}^{n}2 \left(\frac{2}{3} \right)^{k} =2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} et Bn=k=0nkB_{n} =\sum _{k=0}^{n}k

Correction
  • D'une part pour k=0n2(23)k=2+2(23)1+2(23)2+...+2(23)n\sum _{k=0}^{n}2 \left(\frac{2}{3} \right)^{k} =2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} , on reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison q=23q=\frac{2}{3} et de premier terme 2.

On applique la formule :
2+2(23)1+2(23)2+...+2(23)n=1er terme×(1(raison)nombre de termes)1raison2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} ={1^{\text{er terme}}}\times \frac{\left(1-\left(\text{raison}\right)^\text{nombre de termes} \right)}{1-{\text{raison}}} équivaut successivement à :
2+2(23)1+2(23)2+...+2(23)n=2×(1(23)n+1)(123)2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} = 2 \times \frac{\left(1-\left(\frac{2}{3} \right)^{n+1} \right)}{\left(1-\frac{2}{3} \right)}
2+2(23)1+2(23)2+...+2(23)n=6×(1(23)n+1)2+2\left(\frac{2}{3} \right)^{1} +2\left(\frac{2}{3} \right)^{2} +...+2\left(\frac{2}{3} \right)^{n} = 6 \times \left(1-\left(\frac{2}{3} \right)^{n+1} \right)
Ainsi : An=6×(1(23)n+1)A_{n} ={\text{6}}\times \left({\text{1}}-\left(\frac{2}{3} \right)^{n+1} \right)
  • D'autre part pour k=0nk=0+1+2+3++n\sum _{k=0}^{n}k =0+1+2+3+\ldots +n, on reconnait la somme des termes d'une suite arithmétique de raison r=1r=1 et de premier terme 0.

On applique la formule :
0+1+2+3++n=(nombre de termes)×(1er terme+dernier terme2)0+1+2+3+\ldots +n=\left({\text{nombre de termes}}\right)\times \left(\frac{1^{\text{er terme}}+\text{dernier terme}}2 \right) équivaut successivement à :
0+1+2+3++n=(n+1)×(0+n2)0+1+2+3+\ldots +n=\left(n+1\right)\times \left(\frac{0+n}{2} \right)
0+1+2+3++n=n(n+1)20+1+2+3+\ldots +n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}
Ainsi : Bn=n(n+1)2B_{n} =\frac{n\left(n+1\right)}{2}
Question 8

En déduire SnS_{n} en fonction de nn

Correction
On sait que :
Sn=k=0nuk=u0+u1+...+unS_{n} =\sum _{k=0}^{n}u_{k} =u_{0} +u_{1} +...+u_{n} , on détaille les termes de cette somme:
Sn=u0+u1+...+unS_{n} =u_{0} +u_{1} +...+u_{n}
Sn=v0+0+v1+1+v2+2++vn+nS_{n} =v_{0} +0+v_{1} +1+v_{2} +2+\ldots +v_{n} +n, on réorganise la somme :
Sn=(v0+v1+v2++vn)+(0+1+2+3++n)S_{n} =\left(v_{0} +v_{1} +v_{2} +\ldots +v_{n} \right)+\left(0+1+2+3+\ldots +n\right) , on remarque les sommes AnA_{n} et BnB_{n}
Sn=An+BnS_{n} =A_{n} +B_{n}
Sn=6×(1(23)n+1)+n(n+1)2S_{n} ={\text 6}\times \left({\text 1}-\left(\frac{2}{3} \right)^{n+1} \right)+\frac{n\left(n+1\right)}{2}