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Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

25 min
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Le 1er janvier 2013, une grande entreprise compte 1500 employés.

Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10% de l'effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de l'année.
Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100 jeunes dans l'année.
Pour tout entier naturel nn, on appelle unu_{n} le nombre d'employés de l'entreprise le 1er janvier de l'année (2013+n)(2013+n)
Question 1

Calculer u0u_{0}, u1u_{1} et u2u_{2}

Correction
D'après l'énoncé,
u0=1500u_{0} =1500
, c'est-à-dire 1500 personnes dans l'entreprise en 2013.

Il vient alors que :

u1=u0×0,9+100u_{1} =u_{0} \times 0,9+100 ce qui donne u1=1500×0,9+100u_{1} =1500\times 0,9+100 d'où u1=1450u_{1} =1450
C'est-à-dire 1450 personnes dans l'entreprise en 2014.

u2=u1×0,9+100u_{2} =u_{1} \times 0,9+100 ce qui donne u2=1450×0,9+100u_{2} =1450\times 0,9+100d 'où u2=1405u_{2} =1405
C'est-à-dire 1405 personnes dans l'entreprise en 2015.
Question 2

La suite uu de terme général unu_{n} est-elle arithmétique ? géométrique ?
Justifiez les réponses.

Correction
D'une part : u1−u0=1450−1500=−50u_{1} -u_{0} =1450-1500=-50 et u2−u1=1405−1450=−45u_{2} -u_{1} =1405-1450=-45
Il vient que : u1−u0≠u2−u1u_{1} -u_{0} \ne u_{2} -u_{1} , la suite unu_{n} n'est pas arithmétique.
D'autre part : u1u0=14501500=2930\frac{u_{1} }{u_{0} } =\frac{1450}{1500} =\frac{29}{30} et u2u1=14051450=281290\frac{u_{2} }{u_{1} } =\frac{1405}{1450} =\frac{281}{290}
Il vient que : u1u0≠u2u1\frac{u_{1} }{u_{0} } \ne \frac{u_{2} }{u_{1} } , la suite unu_{n} n'est pas géométrique.
Question 3
On admet que, pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,9un+100u_{n+1} =0,9u_{n} +100
Pour tout entier naturel nn, on pose vn=un−1000v_{n} =u_{n} -1000

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) de terme général vnv_{n} est géométrique.
Préciser la raison.

Correction
vn=un−1000v_{n} =u_{n} -1000
On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
vn+1=un+1−1000v_{n+1} =u_{n+1} -1000
vn+1=0,9un+100−1000v_{n+1} =0,9u_{n} +100-1000
vn+1=0,9un−900v_{n+1} =0,9u_{n} -900.
Or vn=un−1000v_{n} =u_{n} -1000
Donc vn+1000=unv_{n} +1000=u_{n}
vn+1=0,9×(vn+1000)−900v_{n+1} =0,9\times \left(v_{n} +1000\right)-900
vn+1=0,9vn+900−900v_{n+1} =0,9v_{n} +900-900
vn+1=0,9vnv_{n+1} =0,9v_{n}
Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,9q=0,9 et de premier terme v0=1500−1000=500v_{0} =1500-1000=500 donc v0=500v_{0} =500
Question 4

Exprimez vnv_{n} en fonction de nn.
En déduire que pour tout entier naturel nn , un=500×0,9n+1000u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000

Correction
Commençons par exprimer vnv_{n} en fonction de nndont la formule est vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi : vn=500×0,9nv_{n} =500\times 0,9^{n}
Or on sait que vn=un−1000v_{n} =u_{n} -1000 donc vn+1000=unv_{n} +1000=u_{n}
Il vient alors que : un=500×0,9n+1000u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000
Question 5

Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<0,9<10< 0,9< 1 alors :
lim⁡n→+∞(0,9)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,9\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞500×(0,9)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 500\times \left(0,9\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞500×(0,9)n+1000=1000\lim\limits_{n\to +\infty } 500\times \left(0,9\right)^{n} +1000=1000
Ainsi : lim⁡n→+∞un=1000\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1000
Question 6

Démontrer que pour tout entier naturel nn, un+1−un=−50×0,9nu_{n+1} -u_{n} =-50\times 0,9^{n} .
En déduire la variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
On sait que : un=500×0,9n+1000u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000 donc un+1=500×0,9n+1+1000u_{n+1} =500\times 0,9^{n+1} +1000
Il vient alors que :
un+1−un=500×0,9n+1+1000−(500×0,9n+1000)u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n+1} +1000-\left(500\times 0,9^{n} +1000\right)
un+1−un=500×0,9n+1+1000−500×0,9n−1000u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n+1} +1000-500\times 0,9^{n} -1000
un+1−un=500×0,9n+1−500×0,9nu_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n+1} -500\times 0,9^{n} . On rappelle que 0,9n+1=0,9n×0,90,9^{n+1} =0,9^{n} \times 0,9, ce qui donne :
un+1−un=500×0,9n×0,9−500×0,9nu_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n} \times 0,9-500\times 0,9^{n} . On factorise par 500×0,9n500\times 0,9^{n} , on a :
un+1−un=500×0,9n×(0,9−1)u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n} \times \left(0,9-1\right)
un+1−un=500×0,9n×(−0,1)u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n} \times \left(-0,1\right)
un+1−un=−50×0,9nu_{n+1} -u_{n} =-50\times 0,9^{n}
Or −50<0-50<0 et 0,9n>00,9^{n} >0 donc −50×0,9n<0-50\times 0,9^{n} <0.
Finalement : un+1−un<0u_{n+1} -u_{n} <0
La suite (un)\left(u_{n} \right) est donc décroissante.