Suites

Comment montrer que trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite géométrique - Exercice 1

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Dans chacun des cas suivants, démontrer si les trois nombres donnés sont les termes consécutifs d'une suite géométrique.
Question 1

u0=6u_{0} =6 ; u1=18u_{1} =18 et u2=54u_{2} =54

Correction
Soient trois nombres réels non nuls notés u0u_{0} ; u1u_{1} et u2u_{2} .
Ces trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite géométrique si
u1u0=u2u1\frac{u_1}{u_0}=\frac{u_2}{u_1}
Première Méthode :
Nous allons donc calculer u1u0\frac{u_1}{u_0} puis u2u1\frac{u_2}{u_1}.
Cela nous donne :
  • u1u0=186=3\frac{u_1}{u_0}=\frac{18}{6}=3
  • u2u1=5418=3\frac{u_2}{u_1}=\frac{54}{18}=3
  • Il vient alors que :
    u1u0=u2u1\frac{u_1}{u_0}=\frac{u_2}{u_1}

    Les trois nombres u0=6u_{0} =6 ; u1=18u_{1} =18 et u2=54u_{2} =54 sont bien les termes consécutifs d'une suite géométrique.
    Deuxième Méthode :
    Trois nombres réels strictement positifs aa, bb et cc sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si bb est la moyenne géométrique de aa et cc .
    Il faut donc que : a×c=b\sqrt{a\times c}=b
    Dans notre situation, on note : a=6a =6 ; b=18b=18 et c=54c =54
    Or :
    a×c=6×54\sqrt{a\times c}=\sqrt{6\times 54}
    a×c=324\sqrt{a\times c}=\sqrt{324}
    a×c=18\sqrt{a\times c}=18
    Ainsi :
    a×c=b\sqrt{a\times c}=b

    Les trois nombres u0=6u_{0} =6 ; u1=18u_{1} =18 et u2=54u_{2} =54 sont bien les termes consécutifs d'une suite géométrique.