Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 2

On place successivement les points de coordonnées $$\left(1;4,4\right)$$, $$\left(2;4,8\right)$$, $$\left(3;5,3\right)$$, $$\left(4;5,7\right)$$ , $$\left(5;6,1\right)$$ , $$\left(6;6,5\right)$$ et $$\left(7;6,8\right)$$

Les coordonnées du point moyen $$G$$ de cette série statistique sont :
$$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}$$

$$\overline{y}=\frac{4,4+4,8+5,3+5,7+6,1+6,5+6,8}{7}$$

Les coordonnées du point moyen $$G$$ sont : $$G\left(4;5,66\right)$$

Une équation de la droite d’ajustement affine de $$y$$ en $$x$$ obtenue par la méthode des moindres carrés, obtenue à la calculatrice, est : (en arrondissant les coefficients à $$0,01$$ près)

Pour tracer la droite dans le nuage de point, il nous suffit de déterminer deux points appartenant à $$y = 0,4x +4$$.
Nous choisissions, par exemple, $$x=1$$ puis $$x=9$$ .
Ainsi :
$$y = 0,4\times1 +4=4,4$$ . Le premier point appartenant à la droite admet comme coordonnées $$\left(1;4,4\right)$$.
$$y = 0,4\times9 +4=7,6$$ . Le deuxième point appartenant à la droite admet comme coordonnées $$\left(9;7,6\right)$$.
Il vous suffit de placer ces deux points et ensuite de tracer la droite comme donnée ci-dessous :

$$2015$$ correspond à un rang $$x = 8$$ . $${\color{blue}{\text{rappel : les années vont de 5 en 5 .}}}$$

On remplace $$x$$ par $$8$$ dans l’équation de la droite: .
En $$2015$$, on peut estimer l’effectif de la population mondiale à $$7,2$$ milliards d’habitants .

Il nous faut résoudre l'inéquation $$0,4x +4\ge8$$ . Ainsi :
$$0,4x +4\ge8$$ équivaut successivement à :
$$0,4x \ge8-4$$
$$0,4x \ge4$$
$$x \ge\frac{4}{0,4}$$
$$x \ge10$$
Selon ce modèle, la population dépassera $$8$$ milliards d’habitants en $$2025$$. $${\color{blue}{\text{rappel : les années vont de 5 en 5 .}}}$$

• La valeur initiale $$V_{0}$$ vaut ici $$4,4$$.
• La valeur finale $$V_{1}$$ vaut ici $$6,8$$.

Il vient alors que :
$$t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100$$ équivaut successivement à :
$$t=\frac{6,8-4,4}{4,4 }\times100$$

La population mondiale entre $$1980$$ et $$2010$$ a connu une augmentation d'environ $$54,5\%$$

Le taux d’évolution global est de $$T=54,5\%$$. Il s'agit du résultat de la question précédente.
$${\color{red}\text{Maintenant}}$$, nous allons calculer le taux d’évolution moyen.
Nous savons que : $$t_{m}=\left(1+T\right)^{\frac{1}{n}}-1$$
Comme il y a $${\color{blue}30}$$ évolutions ( nous allons de $$1980$$ à $$2010$$ ), nous avons donc :
$$t_{m}=\left(1+\frac{54,5}{100}\right)^{\frac{1}{{\color{blue}30}}}-1$$
$$t_{m}=\left(1+0,545\right)^{\frac{1}{{\color{blue}30}}}-1$$
$$t_{m}\approx0,0146$$

Le taux moyen annuel d’évolution de la population mondiale entre $$1980$$ et $$2010$$, exprimé en pourcentage et arrondi à $$0,01\%$$ est d’environ $$1,46\%$$.