Séries statistiques à deux variables

Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

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Une entreprise de livraison de colis à domicile demande à un cabinet comptable de réaliser une étude sur son activité. Une partie des données concerne les bénéfices (en milliers d’euros) réalisés chaque année depuis 2012. Ces informations sont résumées dans le tableau ci-dessous :
Question 1

Déterminer le taux d’évolution global du bénéfice entre 20122012 et 20172017.
Arrondir le résultat à 0,01%0,01\% près.

Correction
    Soit V0V_{0} la valeur initiale d’une grandeur et V1V_{1} sa valeur finale suite à une évolution.
  • Le taux d’évolution de cette grandeur est égal à V1V0V0\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }
  • En pourcentage, le taux d’évolution se note t%t\% avec t=V1V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100
  • Si t>0t > 0, il s’agit d’une augmentation.
  • Si t<0t < 0, il s’agit d’une diminution.
  • La valeur initiale V0V_{0} vaut ici 10,210,2.
  • La valeur finale V1V_{1} vaut ici 17,517,5.
Il vient alors que :
t=V1V0V0×100t=\frac{V_{1} -V_{0} }{V_{0} }\times100 équivaut successivement à :
t=17,510,2510,25×100t=\frac{17,5-10,25}{10,25 }\times100
t71,57%t\approx71,57\%

Le bénéfice entre 20122012 et 20172017 a connu une augmentation d'environ 71,57%71,57\%
Question 2

Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées (xi;yi)\left(x_i;y_i\right) associées à cette série statistique.

Correction
On place successivement les points de coordonnées (1;10,2)\left(1;10,2\right), (2;12,8)\left(2;12,8\right), (3;13,8)\left(3;13,8\right), (4;14,4)\left(4;14,4\right) , (5;16,7)\left(5;16,7\right) et (6;17,5)\left(6;17,5\right)
Question 3

À l’aide de la calculatrice, déterminer pour cette série statistique une équation de la droite d’ajustement de yy en xx obtenue par la méthode des moindres carrés. Arrondir les coefficients à 0,010,01 près.

Correction
À la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de yy en xx obtenue par la méthode des moindres carrés est :
y=1,39x+9,35y =1,39x+9,35
Question 4
Pour les deux questions suivantes, on prendra comme ajustement affine la droite (D)\left(D\right) d’équation y=1,4x+9,4y = 1,4x +9,4 .

Tracer cette droite (D)\left(D\right) sur le nuage de point .

Correction
Pour tracer la droite dans le nuage de point, il nous suffit de déterminer deux points appartenant à y=1,4x+9,4y = 1,4x +9,4.
Nous choisissions, par exemple, x=0x=0 puis x=9x=9 .
Ainsi :
y=1,4×0+9,4=9,4y = 1,4\times0 +9,4=9,4 . Le premier point appartenant à la droite admet comme coordonnées (0;9,4)\left(0;9,4\right).
y=1,4×9+9,4=22y = 1,4\times9 +9,4=22 . Le deuxième point appartenant à la droite admet comme coordonnées (9;22)\left(9;22\right).
Il vous suffit de placer ces deux points et ensuite de tracer la droite comme donnée ci-dessous :
Question 5

On suppose que cet ajustement restera valide jusqu’en 20262026.
Déterminer le bénéfice en euros que l’on peut prévoir pour l’année 20262026.

Correction
20262026 correspond à un rang égal à 1414. On remplace xx par 1414 .
Il vient alors que :
y=1,4×14+9,4y = 1,4\times 14 +9,4
Ainsi :
y=29y = 29

Le bénéfice que l’on peut estimer avoir en 20262026 est de 2929 milliers d’euros.