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Exercices types : 11ère partie - Exercice 2

12 min
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Julien vient de créer une application informatique destinée aux particuliers et permettant l’organisation d'événements. Le 1er1^{er} avril 2018,2018, il envoie une offre de téléchargement de son application à toutes les personnes de son carnet d’adresses.
Chaque semaine, il a relevé le nombre de personnes ayant téléchargé son application. Ses observations sur les cinq premières semaines sont répertoriées dans le tableau ci-dessous. Le rang 00 correspond à la semaine du 1er1^{er} au 77 avril 2018.2018.
Question 1

Représenter le nuage de points (xi,yi)\left(x_{i},y_{i}\right) associé à la série statistique.

Correction
On place successivement les points de coordonnées (0;150)\left(0;150\right), (1;180)\left(1;180\right), (2;210)\left(2;210\right), (3;260)\left(3;260\right) et (4;296)\left(4;296\right)
Question 2

À l’aide de la calculatrice, déterminer l’équation réduite de la droite d’ajustement de yy en xx obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera les valeurs exactes des deux coefficients.

Correction
À l’aide de la calculatrice, l’équation réduite de la droite d’ajustement de yy en xx obtenue par la méthode des moindres carrés est y=37,2x+578,67.\color{blue}y = 37,2x +578,67.
Question 3

Calculer les coordonnées du point moyen GG. Placer ensuite, sur le graphique précédent, le point GG.

Correction
Le point moyen G(x‾;y‾)G\left(\overline{x};\overline{y}\right) d'un nuage de points est le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses xix_{i}, et l'ordonnée la moyenne des ordonnées yiy_{i}.
Ses coordonnées (x‾;y‾)\left(\overline{x};\overline{y}\right) vérifient donc : x‾=x1+x2+…+xnn\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n} et y‾=y1+y2+…+ynn\overline{y}=\frac{y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}}{n}.
Les coordonnées du point moyen GG de cette série statistique sont :
x‾=0+1+2+3+45\overline{x}=\frac{0+1+2+3+4}{5}
x‾=2\overline{x}=2

y‾=150+180+210+260+2965\overline{y}=\frac{150+180+210+260+296}{5}
y‾=10965\overline{y}=\frac{1096}{5}
y‾=219,2\overline{y}=219,2

Les coordonnées du point moyen GG sont : G(2;219,2)G\left(2;219,2\right)

Question 4
Julien décide d’ajuster ce nuage par la droite (D)\left(D\right) d’équation y=37x+145.y = 37x +145.

Déterminer les coordonnées de deux points de la droite (D)\left(D\right) .

Correction
Ici y=37x+145.y = 37x +145. Nous choisissions de manière arbitraire deux valeurs de xx .
Pour x=0\color{red}x=0, on a : y=37×0+145=145y=37\times{\color{red}0}+145=145
On a donc un premier point de coordonnés (0;145).\color{blue}(0;145).
Pour x=2\color{red}x=2, on a : y=37×2+145=219y=37\times{\color{red}2}+145=219
On a donc un deuxième point de coordonnés (2;219).\color{blue}(2;219).
Question 5

Tracer la droite (D)\left(D\right) dans le même repère que le nuage de points.

Correction
Question 6

Selon ce modèle, quel est le nombre de téléchargements attendus à la fin de la semaine de rang 10?10 ?

Correction
Pour déterminer le nombre de téléchargements attendus à la fin de la semaine de rang 1010, il nous suffit de remplacer la valeur de xx par 1010. Soit :
y=37×10+145=515y=37\times{\color{red}10}+145=515
On en déduit donc que le nombre de téléchargements attendus à la fin de la semaine de rang 1010 est 515\color{blue}515

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