Fonctions exponentielles de base $a$

Les propriétés algébriques des fonctions exponentielles de base aa - Exercice 3

10 min
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Question 1
Simplifier les expressions suivantes :

A=(2,13)0,5×2,162,12A=\left(2,1^{3} \right)^{0,5} \times \frac{2,1^{6} }{2,1^{-2} }

Correction
Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et xx et yy deux nombres réels. On a alors :
  • ax×ay=ax+ya^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
  • axay=axy\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
  • (ab)x=axbx\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
  • 1ax=ax\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
  • (ax)y=axy\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
  • (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
  • A=(2,13)0,5×2,162,12A=\left(2,1^{3} \right)^{0,5} \times \frac{2,1^{6} }{2,1^{-2} }
    A=2,13×0,5×2,16(2)A=2,1^{3\times{0,5}}\times2,1^{6-(-2)}
    A=2,11,5×2,18A=2,1^{1,5}\times2,1^{8}
    A=2,11,5+8A=2,1^{1,5+8}
    Ainsi :
    A=2,19,5A=2,1^{9,5}
    Question 2

    B=(42×4676)2B=\left(\frac{4^{2} \times 4^{6} }{7^{6} } \right)^{2}

    Correction
    Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et xx et yy deux nombres réels. On a alors :
  • ax×ay=ax+ya^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
  • axay=axy\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
  • (ab)x=axbx\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
  • 1ax=ax\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
  • (ax)y=axy\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
  • (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
  • B=(42×4676)2B=\left(\frac{4^{2} \times 4^{6} }{7^{6} } \right)^{2}
    B=(42+676)2B=\left(\frac{4^{2+6} }{7^{6} } \right)^{2}
    B=(4876)2B=\left(\frac{4^{8} }{7^{6} } \right)^{2}
    B=(48)2(76)2B=\frac{\left(4^{8}\right)^2 }{\left(7^{6}\right)^2 }
    B=48×276×2B=\frac{4^{8\times2} }{7^{6\times2} }
    Ainsi :
    B=416712B=\frac{4^{16} }{7^{12} }
    Question 3

    C=(92)3×91×9697×(95)3C=\left(9^{2} \right)^{3} \times \frac{9^{-1} \times 9^{6} }{9^{-7} \times \left(9^{-5} \right)^{3} }

    Correction
    Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et xx et yy deux nombres réels. On a alors :
  • ax×ay=ax+ya^{x} \times a^{y} =a^{x+y}
  • axay=axy\frac{a^{x} }{a^{y} } =a^{x-y}
  • (ab)x=axbx\left(ab\right)^{x} =a^{x} b^{x}
  • 1ax=ax\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
  • (ax)y=axy\left(a^{x} \right)^{y} =a^{xy}
  • (ab)x=axbx\left(\frac{a}{b} \right)^{x} =\frac{a^{x} }{b^{x} }
  • C=(92)3×91×9697×(95)3C=\left(9^{2} \right)^{3} \times \frac{9^{-1} \times 9^{6} }{9^{-7} \times \left(9^{-5} \right)^{3} }
    C=92×3×91+697×95×3C=9^{2\times3} \times \frac{9^{-1+6} }{9^{-7} \times9^{-5\times3}}
    C=96×9597×915C=9^{6} \times \frac{9^{5} }{9^{-7} \times9^{-15}}
    C=96×9597+(15)C=9^{6} \times \frac{9^{5} }{9^{-7+(-15)} }
    C=96×95922C=9^{6} \times \frac{9^{5} }{9^{-22} }
    C=96×95(22)C=9^{6} \times 9^{5-(-22)}       \;\;\; \color{red}\Longrightarrow       \;\;\; C=96×927C=9^{6} \times 9^{27}
    C=96+27C=9^{6+27}
    Ainsi :
    C=933C= 9^{33}