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Calculer le taux d'évolution moyen - Exercice 1

10 min
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Question 1
Chaque année une montre de collection connait des augmentations annuelles.
Cette montre de collection connait donc une augmentation de 5%5\% suivie d'une augmentation de 10%10\% et enfin d'une augmentation de 20%20\%.

Quel est le taux d’évolution global ?

Correction
  • Si une grandeur subit des évolutions successives (augmentation ou diminution), le coefficient multiplicateur global (correspondant au taux global d’évolution) est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.
Soit tt le taux global d'évolution recherché.
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 5%5\% est : 1+5100=1,051+\frac{5}{100}=1,05
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 10%10\% est : 1+10100=1,101+\frac{10}{100}=1,10
  • Le coefficient multiplicateur associée à une augmentation de 30%30\% est : 1+30100=1,301+\frac{30}{100}=1,30
    • Il en résulte donc que :
    1+t100=1,05×1,10×1,301+\frac{t}{100} =1,05\times 1,10\times 1,30
    1+t100=1,50151+\frac{t}{100} =1,5015
    t100=1,5015−1\frac{t}{100} =1,5015-1
    t100=0,5015\frac{t}{100} =0,5015
    t=0,5015×100t=0,5015\times 100
    t=50,15%t=50,15\%

    Le taux d’évolution global est de t=50,15%t=50,15\% c'est à dire qu'une augmentation de 5%5\% puis d'une deuxième augmentation de 10%10\% suivie d'une troisième augmentation de 20%20\% correspond à une augmentation globale de 50,15%50,15\%.
    Question 2

    Quel est la taux annuel moyen après ces trois années ? Donner un arrondi à 10−210^{-2} près .

    Correction
    On appelle taux moyen\red{\text{taux moyen}} d’évolution tmoyent_\text{{moyen}} le réel
    (CM1n−1)×100\left(\text{CM}^{\frac{1}{n} } -1\right)\times 100
    avec CM\text{CM} qui correspond au coefficient multiplicateur global sur nn évolutions.
    Dans notre situation, nous avons donc une augmentation globale de 50,15%50,15\%. La valeur de CM\text{CM} est alors égale à CM=1+50,15100\text{CM}=1+\frac{50,15}{100} autrement dit CM=1,5015\text{CM}=1,5015
    La valeur de nn est égale à 33 car nous avons trois évolutions annuelles.
    Il ne nous reste plus qu'à utiliser la formule :
    tmoyen=(CM1n−1)×100t_\text{{moyen}}=\left(\text{CM}^{\frac{1}{n} } -1\right)\times 100
    tmoyen=(1,501513−1)×100t_\text{{moyen}}=\left(\text{1,5015}^{\frac{1}{3} } -1\right)\times 100
    Ainsi :
    tmoyen≈14,51%t_\text{{moyen}}\approx14,51 \%