Calculer des images - Exercice 1

10 min
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Question 1

Montrer que la fonction f(x)=3(0,6)xf\left(x\right)=3\left(0,6\right)^{x} passe par le point A(−1;5)A\left(-1;5\right)

Correction
On rappelle que 0,6=350,6=\frac{3}{5}
f(−1)=3×(0,6)−1f\left(-1\right)=3\times \left(0,6\right)^{-1}
f(−1)=3×(35)−1f\left(-1\right)=3\times \left(\frac{3}{5} \right)^{-1}
Soient aa un nombre réel strictement positif et xx un nombre réel. On a alors :
  • 1ax=a−x\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
    • f(−1)=3×1(35)f\left(-1\right)=3\times \frac{1}{\left(\frac{3}{5} \right)}
  • 1(ab)=ba\frac{1}{\left(\frac{a}{b} \right)} =\frac{b}{a}
    • f(−1)=3×53f\left(-1\right)=3\times \frac{5}{3}
    Ainsi :
    f(−1)=5f\left(-1\right)=5

    Finalement, le point A(−1;5)A\left(-1;5\right) appartient bien à la courbe représentative de la fonction ff.
    Question 2

    Montrer que la fonction f(x)=25(0,5)xf\left(x\right)=25\left(0,5\right)^{x} passe par le point A(−4;400)A\left(-4;400\right)

    Correction
    On rappelle que 0,5=120,5=\frac{1}{2}
    f(−4)=25×(0,5)−4f\left(-4\right)=25\times \left(0,5\right)^{-4}
    f(−4)=25×(12)−4f\left(-4\right)=25\times \left(\frac{1}{2} \right)^{-4}
    Soient aa un nombre réel strictement positif et xx un nombre réel. On a alors :
  • 1ax=a−x\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
    • f(−4)=25×1(12)4f\left(-4\right)=25\times \frac{1}{\left(\frac{1}{2} \right)^4}
    f(−4)=25×1116f\left(-4\right)=25\times \frac{1}{\frac{1}{16} }
  • 1(ab)=ba\frac{1}{\left(\frac{a}{b} \right)} =\frac{b}{a}
    • f(−4)=25×161f\left(-4\right)=25\times \frac{16}{1}
    Ainsi :
    f(−4)=400f\left(-4\right)=400

    Finalement, le point A(−4;400)A\left(-4;400\right) appartient bien à la courbe représentative de la fonction ff.
    Question 3

    Montrer que la fonction f(x)=36(0,6)xf\left(x\right)=36\left(0,6\right)^{x} passe par le point A(−2;100)A\left(-2;100\right)

    Correction
    On rappelle que 0,6=350,6=\frac{3}{5}
    f(−2)=36×(0,6)−2f\left(-2\right)=36\times \left(0,6\right)^{-2}
    f(−2)=36×(35)−2f\left(-2\right)=36\times \left(\frac{3}{5} \right)^{-2}
    Soient aa un nombre réel strictement positif et xx un nombre réel. On a alors :
  • 1ax=a−x\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
    • f(−2)=36×1(35)2f\left(-2\right)=36\times \frac{1}{\left(\frac{3}{5}\right)^2}
    f(−2)=36×1925f\left(-2\right)=36\times \frac{1}{\frac{9}{25}}
  • 1(ab)=ba\frac{1}{\left(\frac{a}{b} \right)} =\frac{b}{a}
    • f(−2)=36×259f\left(-2\right)=36\times \frac{25}{9}
    Ainsi :
    f(−2)=100f\left(-2\right)=100

    Finalement, le point A(−2;100)A\left(-2;100\right) appartient bien à la courbe représentative de la fonction ff.
    Question 4

    La fonction f(x)=−40(0,8)xf\left(x\right)=-40\left(0,8\right)^{x} passe t-elle par le point A(−5;−122)?A\left(-5;-122\right) ?

    Correction
    On rappelle que 0,8=450,8=\frac{4}{5}
    f(−5)=−40×(0,8)−5f\left(-5\right)=-40\times \left(0,8\right)^{-5}
    f(−5)=−40×(45)−5f\left(-5\right)=-40\times \left(\frac{4}{5} \right)^{-5}
    Soient aa un nombre réel strictement positif et xx un nombre réel. On a alors :
  • 1ax=a−x\frac{1}{a^{x} } =a^{-x}
    • f(−5)=−40×1(45)5f\left(-5\right)=-40\times \frac{1}{\left(\frac{4}{5}\right)^5}
    f(−5)=−40×11  0243  125f\left(-5\right)=-40\times \frac{1}{\frac{1\;024}{3\;125}}
  • 1(ab)=ba\frac{1}{\left(\frac{a}{b} \right)} =\frac{b}{a}
    • f(−5)=−40×3  1251  024f\left(-5\right)=-40\times \frac{3\;125}{1\;024}
    Ainsi :
    f(−5)=−122,07f\left(-5\right)=-122,07

    Finalement, le point A(−5;−122,07)A\left(-5;-122,07\right) n'appartient pas à la courbe représentative de la fonction ff.

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