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Primitives et calculs d'intégrales
Valeur moyenne - Exercice 3
5 min
10
Question 1
On considère la fonction
f
f
f
continue sur
[
0
;
π
]
\left[0 ;\pi \right]
[
0
;
π
]
par
f
(
x
)
=
3
sin
(
2
x
)
f\left(x\right)=3\sin \left(2x\right)
f
(
x
)
=
3
sin
(
2
x
)
.
Calculer la valeur moyenne de
f
f
f
sur l'intervalle
[
0
;
π
]
\left[0 ;\pi \right]
[
0
;
π
]
.
Correction
Une primitive de
sin
(
a
x
+
b
)
\sin \left(ax+b\right)
sin
(
a
x
+
b
)
est
−
1
a
cos
(
a
x
+
b
)
-\frac{1}{a} \cos \left(ax+b\right)
−
a
1
cos
(
a
x
+
b
)
Soit
f
f
f
une fonction continue sur un intervalle
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
.
La valeur moyenne de la fonction
f
f
f
sur
[
a
;
b
]
\left[a;b\right]
[
a
;
b
]
est le réel
m
m
m
défini par :
m
=
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
m=\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
m
=
b
−
a
1
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
m
=
1
π
−
0
∫
0
π
3
sin
(
2
x
)
d
x
m=\frac{1}{\pi -0} \int _{0}^{\pi }3\sin \left(2x\right) dx
m
=
π
−
0
1
∫
0
π
3
sin
(
2
x
)
d
x
m
=
1
π
[
−
3
×
1
2
cos
(
2
x
)
]
0
π
m=\frac{1}{\pi } \left[-3\times \frac{1}{2} \cos \left(2x\right)\right]_{0}^{\pi }
m
=
π
1
[
−
3
×
2
1
cos
(
2
x
)
]
0
π
m
=
1
π
[
−
3
2
cos
(
2
x
)
]
0
π
m=\frac{1}{\pi } \left[-\frac{3}{2} \cos \left(2x\right)\right]_{0}^{\pi }
m
=
π
1
[
−
2
3
cos
(
2
x
)
]
0
π
m
=
1
π
(
−
3
2
cos
(
2
π
)
−
(
−
3
2
cos
(
2
×
0
)
)
)
m=\frac{1}{\pi } \left(-\frac{3}{2} \cos \left(2\pi \right)-\left(-\frac{3}{2} \cos \left(2\times 0\right)\right)\right)
m
=
π
1
(
−
2
3
cos
(
2
π
)
−
(
−
2
3
cos
(
2
×
0
)
)
)
m
=
1
π
(
−
3
2
cos
(
2
π
)
−
(
−
3
2
cos
(
0
)
)
)
m=\frac{1}{\pi } \left(-\frac{3}{2} \cos \left(2\pi \right)-\left(-\frac{3}{2} \cos \left(0\right)\right)\right)
m
=
π
1
(
−
2
3
cos
(
2
π
)
−
(
−
2
3
cos
(
0
)
)
)
m
=
1
π
(
−
3
2
×
1
−
(
−
3
2
×
1
)
)
m=\frac{1}{\pi } \left(-\frac{3}{2} \times 1-\left(-\frac{3}{2} \times 1\right)\right)
m
=
π
1
(
−
2
3
×
1
−
(
−
2
3
×
1
)
)
m
=
1
π
(
−
3
2
+
3
2
)
m=\frac{1}{\pi } \left(-\frac{3}{2} +\frac{3}{2} \right)
m
=
π
1
(
−
2
3
+
2
3
)
Finalement :
m
=
0
m=0
m
=
0