Intégration d'une inégalité :
Si
f≥g sur
[a;b] alors
∫abf(x)dx≥∫abg(x)dxOn sait que
In=∫nn+1(x21)dx, autrement dit :
n≤x≤n+1⇔n2≤x2≤(n+1)2, on compose par la fonction inverse.
Il vient alors que :
(n+1)21≤x21≤n21Ainsi :
∫nn+1(n+1)21dx≤∫nn+1x21dx≤∫nn+1n21dx.
Calculons d’une part : ∫nn+1(n+1)21dx=[(n+1)2x]nn+1=((n+1)2n+1)−((n+1)2n)=(n+1)21 Calculons d’autre part : ∫nn+1n21dx=[n2x]nn+1=(n2n+1)−(n2n)=n21Il en résulte que :
(n+1)21≤In≤n21