Comparer deux intégrales sans les calculer - Exercice 3

5 min

Sans faire de calculs, comparer les deux intégrales

I

J

suivantes

Question 1

$I=\int _{0}^{1}\left(te^{t} \right) dt$ et $J=\int _{0}^{1}\left(t^{2} e^{t} \right) dt$

Correction

Intégration d'une inégalité.
Si

f\ge g

sur

\left[a;b\right]

alors

\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx\ge \int _{a}^{b}g\left(x\right) dx

Soit :

t\in \left[0;1\right]

, on a :

t^{2} \le t

Comme :

e^{t} >0

Alors :

t^{2} e^{t} \le te^{t}

.
Il en résulte que :

\int _{1}^{2}\left(t^{2} e^{t} \right) dt\le \int _{1}^{2}\left(te^{t} \right) dt

Finalement :

J\le I

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