Primitives et calculs d'intégrales

Calculs de primitives - Exercice 2

25 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Pour chaque question, déterminer la primitive de la fonction vérifiant la condition proposée.
Question 1

f(x)=2x+4f\left(x\right)=2x+4 ; F(1)=3F\left(1\right)=3

Correction
F(x)=x2+4x+kF\left(x\right)=x^{2} +4x+k
Or F(1)=3F\left(1\right)=3, on va donc remplacer tous les xx de la primitive par 11 afin de déterminer la valeur de kk.
Donc :
F(1)=3F\left(1\right)=3 équivaut successivement à
12+4×1+k=31^{2} +4\times 1+k=3
5+k=35+k=3
k=3−5k=3-5
k=−2k=-2

Ainsi : F(x)=x2+4x−2F\left(x\right)=x^{2} +4x-2
Question 2

f(x)=5x+3f\left(x\right)=5x+3 ; F(2)=4F\left(2\right)=4

Correction
F(x)=52x2+3x+kF\left(x\right)=\frac{5}{2}x^{2} +3x+k
Or F(2)=4F\left(2\right)=4, on va donc remplacer tous les xx de la primitive par 22 afin de déterminer la valeur de kk.
Donc :
F(2)=4F\left(2\right)=4 équivaut successivement à
52×22+3×2+k=4\frac{5}{2}\times2^{2} +3\times2+k=4
52×4+6+k=4\frac{5}{2}\times4 +6+k=4
10+6+k=410 +6+k=4
16+k=416+k=4
k=4−16k=4-16
k=−12k=-12

Ainsi : F(x)=52x2+3x−12F\left(x\right)=\frac{5}{2}x^{2} +3x-12
Question 3

f(x)=x2−x+1f\left(x\right)=x^{2} -x+1 ; F(−2)=1F\left(-2\right)=1

Correction
F(x)=13x3−12x2+x+kF\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2} +x+k
Or F(−2)=1F\left(-2\right)=1 équivaut successivement à
13(−2)3−12(−2)2−2+k=1\frac{1}{3} \left(-2\right)^{3} -\frac{1}{2} \left(-2\right)^{2} -2+k=1
13×(−8)−12×4−2+k=1\frac{1}{3} \times \left(-8\right)-\frac{1}{2} \times 4-2+k=1
−83−42−2+k=1-\frac{8}{3} -\frac{4}{2} -2+k=1
−83−2−2+k=1-\frac{8}{3} -2-2+k=1
−83−4+k=1-\frac{8}{3} -4+k=1
k=1+83+4k=1+\frac{8}{3} +4
k=1×33+83+4×33k=\frac{1\times 3}{3} +\frac{8}{3} +\frac{4\times 3}{3}
k=33+83+123k=\frac{3}{3} +\frac{8}{3} +\frac{12}{3}
k=233k=\frac{23}{3}

Ainsi : F(x)=13x3−12x2+x+233F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2} +x+\frac{23}{3}
Question 4

f(x)=x2−5x−2f\left(x\right)=x^{2} -5x-2 ; F(12)=0F\left(\frac{1}{2}\right)=0

Correction
F(x)=13x3−52x2−2x+kF\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{5}{2} x^{2} -2x+k
Or F(12)=0F\left(\frac{1}{2}\right)=0 équivaut successivement à
13×(12)3−52×(12)2−2×12+k=0\frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} -\frac{5}{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2} -2\times \frac{1}{2}+k=0
−1912+k=0-\frac{19}{12}+k=0
k=1912k=\frac{19}{12}

Ainsi : F(x)=13x3−52x2−2x+192F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{5}{2} x^{2} -2x+\frac{19}{2} .
Question 5


f(x)=x3−2x2f\left(x\right)=x^{3} -\frac{2}{x^2} ; F(1)=14F\left(1\right)=\frac{1}{4}

Correction
F(x)=14x4+2x+kF\left(x\right)=\frac{1}{4} x^{4} +\frac{2}{x}+k
Or F(1)=14F\left(1\right)=\frac{1}{4} équivaut successivement à
14×(1)4+21+k=14\frac{1}{4} \times \left(1\right)^{4}+\frac{2}{1}+k=\frac{1}{4}
14+2+k=14\frac{1}{4}+2+k=\frac{1}{4}
2+k=14−142+k=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}
2+k=02+k=0
k=−2k=-2

Ainsi : F(x)=14x4+2x−2F\left(x\right)=\frac{1}{4} x^{4} +\frac{2}{x}-2 .
Question 6

f(x)=2x−1x2+3f\left(x\right)=\frac{2}{x} -\frac{1}{x^{2} } +3 ; F(1)=−2F\left(1\right)=-2

Correction
F(x)=2ln⁡(x)+1x+3x+kF\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{1}{x} +3x+k
Or F(1)=−2F\left(1\right)=-2 équivaut successivement à
2ln⁡(1)+1+3+k=−22\ln \left(1\right)+1+3+k=-2
4+k=−24+k=-2
k=−6k=-6

Ainsi : F(x)=2ln⁡(x)+1x+3x−6F\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{1}{x} +3x-6
Question 7

f(x)=2cos⁡(x)+3sin⁡(x)f\left(x\right)=2\cos \left(x\right)+3\sin \left(x\right) ; F(π3)=1F\left(\frac{\pi }{3} \right)=1

Correction
F(x)=2sin⁡(x)−3cos⁡(x)+kF\left(x\right)=2\sin \left(x\right)-3\cos \left(x\right)+k
Or F(π3)=1F\left(\frac{\pi }{3} \right)=1 équivaut successivement à
2sin⁡(π3)−3cos⁡(π3)+k=12\sin \left(\frac{\pi }{3} \right)-3\cos \left(\frac{\pi }{3} \right)+k=1
2×32−3×12+k=12\times \frac{\sqrt{3} }{2} -3\times \frac{1}{2} +k=1
3−32+k=1\sqrt{3}-\frac{3}{2}+k=1
k=1−3+32k=1-\sqrt{3}+\frac{3}{2}
k=5−232k=\frac{5-2\sqrt{3} }{2}

Ainsi : F(x)=2sin⁡(x)−3cos⁡(x)+5−232F\left(x\right)=2\sin \left(x\right)-3\cos \left(x\right)+\frac{5-2\sqrt{3} }{2}
Question 8

f(x)=2ex+2x−1f\left(x\right)=2e^{x} +2x-1 ; F(0)=1F\left(0\right)=1

Correction
F(x)=2ex+x2−x+kF\left(x\right)=2e^{x} +x^{2} -x+k
F(0)=1F\left(0\right)=1 équivaut successivement à
2e0+02−0+k=12e^{0} +0^{2} -0+k=1
2+k=12+k=1
k=−1k=-1

Ainsi : F(x)=2ex+x2−x−1F\left(x\right)=2e^{x} +x^{2} -x-1