PGCD, théorèmes de Bezout et Gauss

Savoir si une équation diophantienne admet des solutions - Exercice 1

10 min
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Question 1
Parmi les équations ci-dessous, où xx et yy sont des entiers relatifs, quelles sont celles qui admettent des solutions?

6x+12y=206x+12y=20

Correction
  • Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs avec a≠0a\ne 0 et b≠0b\ne 0 .
    L'équation ax+by=cax+by=c admet des couples d'entiers relatifs (x;y)\left(x;y\right) solutions si et seulement si cc est un multiple\red{\text{multiple}} de PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) On peut également dire que le PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) divise\red{\text{divise}} cc que l'on écrit : PGCD(a;b)∣c\text{PGCD}\left(a;b\right){\rm }| c
    • Soit l'équation 6x+12y=206x+12y=20 avec a=6a=6 ; b=12b=12 et c=20c=20
    PGCD(6;12)=6\text{PGCD}\left(6;12\right)=6
    Or 2020 n'est pas un multiple de 66 donc l'équation 6x+12y=206x+12y=20 n'admet pas de solutions.
    Question 2

    7x+8y=57x+8y=5

    Correction
  • Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs avec a≠0a\ne 0 et b≠0b\ne 0 .
    L'équation ax+by=cax+by=c admet des couples d'entiers relatifs (x;y)\left(x;y\right) solutions si et seulement si cc est un multiple\red{\text{multiple}} de PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) . On peut également dire que le PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) divise\red{\text{divise}} cc que l'on écrit : PGCD(a;b)∣c\text{PGCD}\left(a;b\right){\rm }| c
    • Soit l'équation 7x+8y=57x+8y=5 avec a=7a=7 ; b=8b=8 et c=5c=5
    PGCD(7;8)=1\text{PGCD}\left(7;8\right)=1
    Or 55 est un multiple de 11 donc l'équation 7x+8y=57x+8y=5 admet des solutions.
    Question 3

    42x+33y=142x+33y=1

    Correction
  • Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs avec a≠0a\ne 0 et b≠0b\ne 0 .
    L'équation ax+by=cax+by=c admet des couples d'entiers relatifs (x;y)\left(x;y\right) solutions si et seulement si cc est un multiple\red{\text{multiple}} de PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) . On peut également dire que le PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) divise\red{\text{divise}} cc que l'on écrit : PGCD(a;b)∣c\text{PGCD}\left(a;b\right){\rm }| c
    • Soit l'équation 42x+33y=142x+33y=1 avec a=42a=42 ; b=33b=33 et c=1c=1
    PGCD(42;33)=3\text{PGCD}\left(42;33\right)=3
    Or 11 n'est un multiple de 33 donc l'équation 42x+33y=142x+33y=1 n'admet pas de solutions.
    Question 4

    21x+12y=4921x+12y=49

    Correction
  • Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs avec a≠0a\ne 0 et b≠0b\ne 0 .
    L'équation ax+by=cax+by=c admet des couples d'entiers relatifs (x;y)\left(x;y\right) solutions si et seulement si cc est un multiple\red{\text{multiple}} de PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) . On peut également dire que le PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) divise\red{\text{divise}} cc que l'on écrit : PGCD(a;b)∣c\text{PGCD}\left(a;b\right){\rm }| c
    • Soit l'équation 21x+12y=4921x+12y=49 avec a=21a=21 ; b=12b=12 et c=49c=49
    PGCD(21;12)=3\text{PGCD}\left(21;12\right)=3
    Or 4949 n'est un multiple de 33 donc l'équation 21x+12y=4921x+12y=49 n'admet pas de solutions.
    Question 5

    46x−12y=846x-12y=8

    Correction
  • Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs avec a≠0a\ne 0 et b≠0b\ne 0 .
    L'équation ax+by=cax+by=c admet des couples d'entiers relatifs (x;y)\left(x;y\right) solutions si et seulement si cc est un multiple\red{\text{multiple}} de PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) . On peut également dire que le PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) divise\red{\text{divise}} cc que l'on écrit : PGCD(a;b)∣c\text{PGCD}\left(a;b\right){\rm }| c
    • Soit l'équation 46x−12y=846x-12y=8 avec a=46a=46 ; b=−12b=-12 et c=8c=8
    PGCD(46;−12)=PGCD(46;12)=2\text{PGCD}\left(46;-12\right)=\text{PGCD}\left(46;12\right)=2
    Or 88 est un multiple de 22 donc l'équation 46x−12y=846x-12y=8 admet des solutions.
    Question 6

    7x+5y=97x+5y=9

    Correction
  • Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs avec a≠0a\ne 0 et b≠0b\ne 0 .
    L'équation ax+by=cax+by=c admet des couples d'entiers relatifs (x;y)\left(x;y\right) solutions si et seulement si cc est un multiple\red{\text{multiple}} de PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) . On peut également dire que le PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) divise\red{\text{divise}} cc que l'on écrit : PGCD(a;b)∣c\text{PGCD}\left(a;b\right){\rm }| c
    • Soit l'équation 7x+5y=97x+5y=9 avec a=7a=7 ; b=5b=5 et c=9c=9
    PGCD(7;5)=1\text{PGCD}\left(7;5\right)=1
    Or 99 est un multiple de 11 donc l'équation 7x+5y=97x+5y=9 admet des solutions.
    Question 7

    236x+24y=17236x+24y=17

    Correction
  • Soient aa, bb et cc trois entiers relatifs avec a≠0a\ne 0 et b≠0b\ne 0 .
    L'équation ax+by=cax+by=c admet des couples d'entiers relatifs (x;y)\left(x;y\right) solutions si et seulement si cc est un multiple\red{\text{multiple}} de PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) . On peut également dire que le PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(a;b\right) divise\red{\text{divise}} cc que l'on écrit : PGCD(a;b)∣c\text{PGCD}\left(a;b\right){\rm }| c
    • Soit l'équation 236x+24y=17236x+24y=17 avec a=236a=236 ; b=24b=24 et c=17c=17
    PGCD(236;24)=4\text{PGCD}\left(236;24\right)=4
    Or 1717 n'est un multiple de 44 donc l'équation 236x+24y=17236x+24y=17 n'admet pas de solutions.