D’une part : nous savons que
7x−3y=1D’autre part : nous avons démontré à la question
1 que :
7×1−3×2=1Nous allons maintenant soustraire ces deux égalités, cela nous donne :
7x−3y−(7×1−3×2)=1−1 7x−3y−7×1+3×2=0 7x−7×1=3y−3×27(x−1)=3(y−2) Soient
a,
b et
c trois entiers relatifs non nuls. Si
a divise le produit
b×c et si
a et
b sont premiers entre eux alors
a divise
c.
Donc
7 divise
3(y−2). Or on sait que
7 et
3 sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss,
7 divise
y−2. On peut donc dire que
y−2=7k où
k∈Z et donc que
y=2+7kEn remplaçant l'expression
y=2+7k dans l'équation
7(x−1)=3(y−2) , il vient :
7(x−1)=3(2+7k−2)7(x−1)=3×7k . On simplifier par
7, ce qui nous donne :
x−1=3kAinsi :
x=3k+1Nous venons de trouver le couple
(x;y)=(3k+1;2+7k) et il faut vérifier si ce couple vérifie l'équation
(E) .
Ainsi :
7x−3y=7(3k+1)−3(2+7k)7x−3y=7×3k+7×1−3×2−3×7k7x−3y=7×1−3×2 7x−3y=7−6 7x−3y=1On peut donc conclure que toutes les solutions de l'équation
(E) sont :
S={(3k+1;2+7k)} où
k∈Z