PGCD, théorèmes de Bezout et Gauss

Savoir résoudre une équation diophantienne - Exercice 1

10 min
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Question 1
Soit l'équation (E)\left(E\right) : 221u331v=1221u-331v=1

Vérifier que le couple (3;2)\left(3 ; 2\right) est une solution de l’équation (E)\left(E\right) .

Correction
Cette question est juste une formalité, il nous faut remplacer uu par 33 et vv par 22 et vérifier que l'on obtient bien 11.
Ainsi :
221×3331×2=663662=1221\times3-331\times2=663-662=\red{1}
Il en résulte que le couple (3;2)\left(3 ; 2\right) est bien une solution de l’équation 221u331v=1221u-331v=1
Question 2

Déterminer toutes les solutions de l'équation (E)\left(E\right) .

Correction
D’une part :\text{\blue{D'une part :}} nous savons que 221u331v=1\red{221u-331v=1}
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}} nous avons démontré à la question 11 que : 221×3331×2=1\purple{221\times3-331\times2=1}
Nous allons maintenant soustraire ces deux égalités, cela nous donne :
221u331v(221×3331×2)=11\red{221u-331v}-\left(\purple{221\times3-331\times2}\right)=\red{1}-\purple{1}
221u331v221×3+331×2=0221u-331v-221\times 3+331\times 2=0
221u221×3=331v331×2221u-221\times 3=331v-331\times 2
221(u3)=331(v2)\pink{221\left(u-3\right)=331\left(v-2\right)}
    Théorème de Gauss
Soient a\red{a}, b\purple{b} et c\blue{c} trois entiers relatifs non nuls. Si a\red{a} divise le produit b×c\purple{b}\times\blue{c} et si a\red{a} et b\purple{b} sont premiers entre eux alors a\red{a} divise c\blue{c}.
Donc 221221 divise 331(v2)331\left(v-2\right). Or on sait que 221221 et 331331 sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, 221221 divise v2v−2. On peut donc dire que v2=221kv−2=221kkZk \in \mathbb{Z} et donc que v=2+221k\green{v =2+221k}
En remplaçant l'expression v=2+221k\green{v =2+221k} dans l'équation 221(u3)=331(v2)\pink{221\left(u-3\right)=331\left(v-2\right)} , il vient :
221(u3)=331(2+221k2)221\left(u-3\right)=331\left(\green{2+221k}-2\right)
221(u3)=331×221k221\left(u-3\right)=331\times 221k . On simplifier par 221221, ce qui nous donne :
u3=331ku-3= 331k
Ainsi : u=331k+3\orange{u=331k+3}
Nous venons de trouver le couple (u;v)=(331k+3;2+221k)\left(u;v\right)=\left(\orange{331k+3};\green{2+221k}\right) et il faut vérifier si ce couple vérifie l'équation (E)\left(E\right) .
Ainsi :
221u331v=221(331k+3)331(2+221k)221u-331v=221\left(\orange{331k+3}\right)-331\left(\green{2+221k}\right)
221u331v=221×331k+221×3331×2331×221k221u-331v=221\times 331k+221\times 3-331\times 2-331\times 221k
221u331v=221×3331×2221u-331v=221\times 3-331\times 2
221u331v=663662221u-331v=663-662
221u331v=1221u-331v=1
On peut donc conclure que toutes les solutions de l'équation (E)\left(E\right) sont : S={(331k+3;2+221k)}S=\left\{\left(331k+3;2+221k\right)\right\}kZk \in \mathbb{Z}