Savoir résoudre une équation diophantienne - Exercice 1

Cette question est juste une formalité, il nous faut remplacer $$u$$ par $$3$$ et $$v$$ par $$2$$ et vérifier que l'on obtient bien $$1$$.
Ainsi :
$$221\times3-331\times2=663-662=\red{1}$$
Il en résulte que le couple $$\left(3 ; 2\right)$$ est bien une solution de l’équation $$221u-331v=1$$

$$\text{\blue{D'une part :}}$$ nous savons que $$\red{221u-331v=1}$$
$$\text{\blue{D'autre part :}}$$ nous avons démontré à la question $$1$$ que : $$\purple{221\times3-331\times2=1}$$
Nous allons maintenant soustraire ces deux égalités, cela nous donne :
$$\red{221u-331v}-\left(\purple{221\times3-331\times2}\right)=\red{1}-\purple{1}$$
$$221u-331v-221\times 3+331\times 2=0$$
$$221u-221\times 3=331v-331\times 2$$
$$\pink{221\left(u-3\right)=331\left(v-2\right)}$$
Donc $$221$$ divise $$331\left(v-2\right)$$. Or on sait que $$221$$ et $$331$$ sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, $$221$$ divise $$v−2$$. On peut donc dire que $$v−2=221k$$ où $$k \in \mathbb{Z}$$ et donc que $$\green{v =2+221k}$$
En remplaçant l'expression $$\green{v =2+221k}$$ dans l'équation $$\pink{221\left(u-3\right)=331\left(v-2\right)}$$ , il vient :
$$221\left(u-3\right)=331\left(\green{2+221k}-2\right)$$
$$221\left(u-3\right)=331\times 221k$$ . On simplifier par $$221$$, ce qui nous donne :
$$u-3= 331k$$
Ainsi : $$\orange{u=331k+3}$$
Nous venons de trouver le couple $$\left(u;v\right)=\left(\orange{331k+3};\green{2+221k}\right)$$ et il faut vérifier si ce couple vérifie l'équation $$\left(E\right)$$ .
Ainsi :
$$221u-331v=221\left(\orange{331k+3}\right)-331\left(\green{2+221k}\right)$$
$$221u-331v=221\times 331k+221\times 3-331\times 2-331\times 221k$$
$$221u-331v=221\times 3-331\times 2$$
$$221u-331v=663-662$$
$$221u-331v=1$$
On peut donc conclure que toutes les solutions de l'équation $$\left(E\right)$$ sont : $$S=\left\{\left(331k+3;2+221k\right)\right\}$$ où $$k \in \mathbb{Z}$$