Résoudre une équation diophantienne dans le cas général - Exercice 1

Calculons $$\text{PGCD}\left(26;15\right)$$ avec l'algorithme d'Euclide :
$$\red{26}=\blue{15}\times\purple{1}+\pink{11}$$
$$\red{15}=\blue{11}\times\purple{1}+\pink{4}$$
$$\red{11}=\blue{4}\times\purple{2}+\pink{3}$$
$$\red{4}=\blue{3}\times\purple{1}+\pink{1}$$
$$\red{3}=\blue{1}\times\purple{3}+\pink{0}$$
Le dernier reste non nul vaut $$1$$ : $$\text{PGCD}\left(15;26\right)=1$$.
Or $$1$$ divise $$3$$ :

Maintenant nous allons remonter l'algorithme d'Euclide de la question $$1$$ en partant du dernier reste non nul :
$$1=4-3$$
$$1=4-\left(11-4\times 2\right)=3\times 4-11$$
$$1=3\times\left(15-11\right)-11=3\times 15-4\times 11$$
$$1=3\times 15-4\times\left(26-15\right)=7\times 15-4\times 26$$
Ainsi $$15\times 7-26\times 4=1$$ : le couple $$\left(u;v\right)=\left(7;4\right)$$ convient.
En multipliant cette égalité par $$3$$ : $$15\times 21-26\times 12=3$$.
Vérification : $$15\times 21-26\times 12=315-312=3$$

$$\text{D'une part :}$$ nous savons que $$15x-26y=3$$
$$\text{D'autre part :}$$ nous avons démontré à la question $$2$$ que : $$15\times 21-26\times 12=3$$
Nous allons maintenant soustraire ces deux égalités, cela nous donne :
$$15x-26y-15\times 21+26\times 12=0$$
$$\pink{15\left(x-21\right)=26\left(y-12\right)}$$
Donc $$26$$ divise $$15\left(x-21\right)$$. Or $$26$$ et $$15$$ sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, $$26$$ divise $$x-21$$ : $$x-21=26k$$ où $$k\in \mathbb{Z}$$, c'est-à-dire $$x=21+26k$$.
En remplaçant dans $$\pink{15\left(x-21\right)=26\left(y-12\right)}$$ : $$15\times 26k=26\left(y-12\right)$$. On simplifie par $$26$$ : $$y-12=15k$$, donc $$y=12+15k$$.
Réciproquement : $$15\left(21+26k\right)-26\left(12+15k\right)=315+390k-312-390k=3$$.