Exercices types : 3ᵉ partie - Exercice 1

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On considère la fonction polynôme PP définie par P(x)=2x3+x2+x−1P\left(x\right)=2x^{3}+x^{2}+x-1. On cherche ses racines rationnelles : on écrit un rationnel sous forme irréductible pq\dfrac{p}{q} avec p∈Zp\in \mathbb{Z}, q∈N∗q\in \mathbb{N}^{*} et PGCD(p;q)=1\text{PGCD}\left(p;q\right)=1.
Question 1

Démontrer que si pq\dfrac{p}{q} est une racine de PP, alors 2p3+p2q+pq2−q3=02p^{3}+p^{2}q+pq^{2}-q^{3}=0. En déduire que pp divise q3q^{3} et que qq divise 2p32p^{3}.

Correction
P(pq)=0P\left(\dfrac{p}{q}\right)=0 équivaut successivement à :
2×p3q3+p2q2+pq−1=02\times\dfrac{p^{3}}{q^{3}}+\dfrac{p^{2}}{q^{2}}+\dfrac{p}{q}-1=0
2p3+p2q+pq2−q3=02p^{3}+p^{2}q+pq^{2}-q^{3}=0 (on multiplie par q3q^{3}, qui n'est pas nul)
D’une part :\text{D'une part :} q3=2p3+p2q+pq2=p(2p2+pq+q2)q^{3}=2p^{3}+p^{2}q+pq^{2}=p\left(2p^{2}+pq+q^{2}\right), donc pp divise q3q^{3}.
D’autre part :\text{D'autre part :} 2p3=q3−p2q−pq2=q(q2−p2−pq)2p^{3}=q^{3}-p^{2}q-pq^{2}=q\left(q^{2}-p^{2}-pq\right), donc qq divise 2p32p^{3}.
pp divise q3q^{3} et qq divise 2p32p^{3}
Question 2

En utilisant le théorème de Gauss, démontrer que pp divise 11 et que qq divise 22.

Correction
Theˊoreˋme de Gauss\text{Théorème de Gauss} : soient aa, bb et cc trois entiers relatifs non nuls.
  • Si aa divise le produit bcbc et si aa et bb sont premiers entre eux, alors aa divise cc.
    • pp divise q3=q×q2q^{3}=q\times q^{2} et pp et qq sont premiers entre eux : d'après le théorème de Gauss, pp divise q2=q×qq^{2}=q\times q. De nouveau, pp divise qq. Ainsi pp divise pp et qq, donc pp divise PGCD(p;q)=1\text{PGCD}\left(p;q\right)=1.
    De même, qq divise 2p3=p×2p22p^{3}=p\times 2p^{2} et qq est premier avec pp : qq divise 2p2=p×2p2p^{2}=p\times 2p, puis qq divise 2p=p×22p=p\times 2, puis qq divise 22.
    p∈{−1;1}p\in\left\{-1;1\right\} et q∈{1;2}q\in\left\{1;2\right\}
    Question 3

    En déduire les racines rationnelles de PP, puis factoriser P(x)P\left(x\right).

    Correction
    Les seules racines rationnelles possibles sont donc −1-1 ; 11 ; −12-\dfrac{1}{2} et 12\dfrac{1}{2}. Testons-les :
    P(1)=2+1+1−1=3P\left(1\right)=2+1+1-1=3 et P(−1)=−2+1−1−1=−3P\left(-1\right)=-2+1-1-1=-3
    P(12)=2×18+14+12−1=14+14+12−1=0P\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\times\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-1=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-1=0
    P(−12)=−14+14−12−1=−32P\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{3}{2}
    12\dfrac{1}{2} est donc la seule racine rationnelle de PP, et P(x)P\left(x\right) se factorise par 2x−12x-1 :
    (2x−1)(x2+x+1)=2x3+2x2+2x−x2−x−1=2x3+x2+x−1\left(2x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)=2x^{3}+2x^{2}+2x-x^{2}-x-1=2x^{3}+x^{2}+x-1
    Le trinôme x2+x+1x^{2}+x+1 a pour discriminant Δ=1−4=−3<0\Delta=1-4=-3\lt 0 : il n'a pas de racine réelle.
    P(x)=(2x−1)(x2+x+1)P\left(x\right)=\left(2x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right) et sa seule racine rationnelle est 12\dfrac{1}{2}

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