Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. Soit k un entier naturel non nul .Alors : PGCD(k×a;k×b)=k×PGCD(a;b) Nous savons que
PGCD(x;y)=8Cela signifie que
x est un multiple de
8 ou encore que
(8∣x) qui se lit
8 divise
x. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel
k tel que :
x=8k .
Cela signifie également que
y est un multiple de
8 ou encore que
(8∣y) qui se lit
8 divise
y. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel
k′ tel que :
y=8k′ .
Il vient alors que :
{x+yPGCD(x;y)==328 équivaut successivement à :
{8k+8k′PGCD(8k;8k′)==328{8×(k+k′)8×PGCD(k;k′)==328{k+k′PGCD(k;k′)==83288{k+k′PGCD(k;k′)==41 Comme
x<y alors
8k<8k′ donc
k<k′ . Le seul couple
(k;k′) vérifiant
k+k′=4 est alors :
(1;3) . On ne retient pas le couple
(2;2) car il faut que
k<k′ .
Finalement le couple solution est de la forme
(x;y)=(8k;8k′) . Ainsi :
(8×1;8×3) D'où :
(8;24) Le seule couple solution est alors :
S={(8;24)}