Exercices types : $1$ ^ère partie - Exercice 2

4 min

Question 1

Soit $n$ un entier naturel non nul. Démontrer que $n$ et $n+1$ sont toujours premiers entre eux .

Correction

On remarque que :

1\times \left(n+1\right)+\left(-1\right)\times n=1

\red{\text{Théorème de Bézout}}

Deux entiers relatifs

a

b

sont premiers entre eux si et seulement si, il existe deux entiers relatifs

u

v

tels que :

au+bv=1

On a bien ici deux entiers relatifs

u=1

v=-1

et deux autres entiers naturels

a=n+1

b=n

tels que

au+bv=1

Il en résulte donc que

\text{PGCD}\left(n;n+1\right)=1

.
Ainsi

n

n+1

sont toujours premiers entre eux.