Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Nous savons que $$\text{PGCD}\left(x;y\right)=12$$
Cela signifie que $$x$$ est un multiple de $$12$$ ou encore que $$\left(12{\rm }|x\right)$$ qui se lit $$12$$ divise $$x$$. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k$$ tel que : $$\red{x=12k}$$ .
Cela signifie également que $$y$$ est un multiple de $$12$$ ou encore que $$\left(12{\rm }|y\right)$$ qui se lit $$12$$ divise $$y$$. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k'$$ tel que : $$\green{y=12k'}$$ .
Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {xy} & {=} & {864} \\ {\text{PGCD}\left(x;y\right)} & {=} & {12} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {\red{12k}\times \green{12k'}} & {=} & {864} \\ {\text{PGCD}\left(\red{12k};\green{12k'}\right)} & {=} & {12} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {144k\times k'} & {=} & {864} \\ {12\times\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {12} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k\times k'} & {=} & {\frac{864}{144} } \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {\frac{12}{12} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k\times k'} & {=} & {6} \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que $$k$$ et $$k'$$ sont des $$\red{\text{diviseurs}}$$ de $$6$$ et $$\red{\text{premier entre eux}}$$.
La liste des diviseurs de $$6$$ est alors $$D\left(6\right)=\left\{1;2;3;6\right\}$$ . Nous allons noter tous les couples $$\left(k;k'\right)$$ possibles vérifiant $$\left\{\begin{array}{ccc} {k\times k'} & {=} & {6} \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$$ . On a alors :
$$\left(1;6\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(6;1\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(2;3\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(3;2\right)$$
Finalement les couples solutions sont de la forme $$\left(x;y\right)=\left(12k;12k'\right)$$ . Ainsi :
$$\left(12\times 1;12\times 6\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(12\times 6;12\times 1\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(12\times 2;12\times 3\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(12\times 3;12\times 2\right)$$
On écrit alors :