Equations et PGCD - Exercice 6

Nous savons que $$\text{PGCD}\left(x;y\right)=8$$
Cela signifie que $$x$$ est un multiple de $$8$$ ou encore que $$\left(8{\rm }|x\right)$$ qui se lit $$8$$ divise $$x$$. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k$$ tel que : $$\red{x=8k}$$ .
Cela signifie également que $$y$$ est un multiple de $$8$$ ou encore que $$\left(8{\rm }|y\right)$$ qui se lit $$8$$ divise $$y$$. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k'$$ tel que : $$\green{y=8k'}$$ .
Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x+y} & {=} & {48} \\ {\text{PGCD}\left(x;y\right)} & {=} & {8} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {\red{8k}+ \green{8k'}} & {=} & {48} \\ {\text{PGCD}\left(\red{8k};\green{8k'}\right)} & {=} & {8} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {8\times\left(k+ k'\right)} & {=} & {48} \\ {8\times\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {8} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k+ k'} & {=} & {\frac{48}{8} } \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {\frac{8}{8} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k+ k'} & {=} & {6} \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
Il est important de ne pas oublier que $$k$$ et $$k'$$ sont premiers entre eux car $$\text{PGCD}\left(k;k'\right)=1$$
Comme $$x<y$$ alors $$8k<8k'$$ donc $$k<k'$$ . Le seul couple $$\left(k;k'\right)$$ d'entiers non nuls vérifiant $$k+k'=6$$ est alors : $$\left(1;5\right)$$
Finalement le couple solution est de la forme $$\left(x;y\right)=\left(8k;8k'\right)$$ . Ainsi :
$$\left(8\times 1;8\times 5\right)$$ d'où : $$\left(8;40\right)$$
Le seul couple solution est alors :