Equations et PGCD - Exercice 5

Nous savons que $$\text{PGCD}\left(x;y\right)=4$$
Cela signifie que $$x$$ est un multiple de $$4$$ ou encore que $$\left(4{\rm }|x\right)$$ qui se lit $$4$$ divise $$x$$. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k$$ tel que : $$\red{x=4k}$$ .
Cela signifie également que $$y$$ est un multiple de $$4$$ ou encore que $$\left(4{\rm }|y\right)$$ qui se lit $$4$$ divise $$y$$. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k'$$ tel que : $$\green{y=4k'}$$ .
Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2}-y^{2}} & {=} & {432} \\ {\text{PGCD}\left(x;y\right)} & {=} & {4} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {\left(\red{4k}\right)^{2}-\left(\green{4k'}\right)^{2}} & {=} & {432} \\ {\text{PGCD}\left(\red{4k};\green{4k'}\right)} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {16k^{2} -16k'^{2} } & {=} & {432} \\ {4\times\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {16\left(k^{2} -k'^{2} \right)} & {=} & {432} \\ {4\times\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {4} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k^{2} -k'^{2} } & {=} & {\frac{432}{16} } \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {\frac{4}{4} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k^{2} -k'^{2} } & {=} & {27} \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$$ on reconnait une identité remarquable.
$$\left\{\begin{array}{ccc} {\left(k -k'\right)\left(k +k'\right) } & {=} & {27} \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
La liste des diviseurs de $$27$$ est alors $$D\left(27\right)=\left\{1;3;9;27\right\}$$ .
Comme $$k$$ et $$k'$$ sont des entiers naturels alors $$k -k'<k +k'$$
Il nous faut donc $$\left(k -k'\right)\left(k +k'\right)=27$$ avec $$\text{PGCD}\left(k;k'\right)=1$$
On a donc les systèmes suivants à résoudre :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k-k'} & {=} & {1} \\ {k+k'} & {=} & {27} \end{array}\right.$$ $$\;$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\;$$$$\;$$$$\;$$$$\left\{\begin{array}{ccc} {k-k'} & {=} & {3} \\ {k+k'} & {=} & {9} \end{array}\right.$$
$$\blue{\text{Résolvons d'une part :}}$$ $$\left\{\begin{array}{ccc} {k-k'} & {=} & {1} \\ {k+k'} & {=} & {27} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k-k'} & {=} & {1} \\ {k+k'} & {=} & {27} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {k+k'} & {=} & {27} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {1+k'+k'} & {=} & {27} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {1+2k'} & {=} & {27} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {2k'} & {=} & {27-1} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {2k'} & {=} & {26} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {k'} & {=} & {\frac{26}{2} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {k'} & {=} & {13} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+13} \\ {k'} & {=} & {13} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {14} \\ {k'} & {=} & {13} \end{array}\right.$$ Comme $$x>y$$ alors $$4k>4k'$$ donc $$k>k'$$ . Or $$14$$ et $$13$$ $$\pink{\text{sont premiers entre eux}}$$. Le couple $$\left(\red{k=14};\green{k'=13}\right)$$ convient . N'oublions pas que les couples solutions sont de la forme $$\left(x;y\right)=\left(4\red{k};4\green{k'}\right)$$ . Finalement, le premier couple solution est alors $${\color{blue}{\left(56;52\right)}}$$
$$\blue{\text{Résolvons d'autre part :}}$$ $$\left\{\begin{array}{ccc} {k-k'} & {=} & {3} \\ {k+k'} & {=} & {9} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k-k'} & {=} & {3} \\ {k+k'} & {=} & {9} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {3+k'} \\ {k+k'} & {=} & {9} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {3+k'} \\ {3+k'+k'} & {=} & {9} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {3+k'} \\ {3+2k'} & {=} & {9} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {3+k'} \\ {2k'} & {=} & {9-3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {3+k'} \\ {2k'} & {=} & {6} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {3+k'} \\ {k'} & {=} & {\frac{6}{2} } \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {3+k'} \\ {k'} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {3+3} \\ {k'} & {=} & {3} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {6} \\ {k'} & {=} & {3} \end{array}\right.$$ or $$3$$ et $$6$$ $$\purple{\text{ne sont premiers entre eux}}$$ . On ne peut donc pas retenir ce couple.
L'unique solution du système $$\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2}-y^{2}} & {=} & {432} \\ {\text{PGCD}\left(x;y\right)} & {=} & {4} \end{array}\right.$$ est alors le couple :