PGCD, théorèmes de Bezout et Gauss

Equations et PGCD - Exercice 4

12 min
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Question 1

Soient xx et yy des entiers naturels non nuls tel que x>yx>y. Résoudre : {x2y2=7695PGCD(x;y)=9\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2}-y^{2}} & {=} & {7695} \\ {\text{PGCD}\left(x;y\right)} & {=} & {9} \end{array}\right.

Correction
  • Soient aa et bb deux entiers relatifs non nuls.
  • Soit k\blue{k} un entier naturel non nul .
  • Alors : PGCD(k×a;k×b)=k×PGCD(a;b)\text{PGCD}\left(\blue{k}\times a;\blue{k}\times b\right)=\blue{k}\times \text{PGCD}\left(a;b\right)
  • Nous savons que PGCD(x;y)=9\text{PGCD}\left(x;y\right)=9
    Cela signifie que xx est un multiple de 99 ou encore que (9x)\left(9{\rm }|x\right) qui se lit 99 divise xx. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel kk tel que : x=9k\red{x=9k} .
    Cela signifie également que yy est un multiple de 99 ou encore que (9y)\left(9{\rm }|y\right) qui se lit 99 divise yy. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel kk' tel que : y=9k\green{y=9k'} .
    Il vient alors que :
    {x2y2=7695PGCD(x;y)=9\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2}-y^{2}} & {=} & {7695} \\ {\text{PGCD}\left(x;y\right)} & {=} & {9} \end{array}\right. équivaut successivement à :
    {(9k)2(9k)2=7695PGCD(9k;9k)=9\left\{\begin{array}{ccc} {\left(\red{9k}\right)^{2}-\left(\green{9k'}\right)^{2}} & {=} & {7695} \\ {\text{PGCD}\left(\red{9k};\green{9k'}\right)} & {=} & {9} \end{array}\right.
    {81k281k2=76959×PGCD(k;k)=9\left\{\begin{array}{ccc} {81k^{2} -81k'^{2} } & {=} & {7695} \\ {9\times\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {9} \end{array}\right.
    {81(k2k2)=76959×PGCD(k;k)=9\left\{\begin{array}{ccc} {81\left(k^{2} -k'^{2} \right)} & {=} & {7695} \\ {9\times\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {9} \end{array}\right.
    {k2k2=769581PGCD(k;k)=99\left\{\begin{array}{ccc} {k^{2} -k'^{2} } & {=} & {\frac{7695}{81} } \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {\frac{9}{9} } \end{array}\right.
    {k2k2=95PGCD(k;k)=1\left\{\begin{array}{ccc} {k^{2} -k'^{2} } & {=} & {95} \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {1} \end{array}\right. on reconnait une identité remarquable.
    {(kk)(k+k)=95PGCD(k;k)=1\left\{\begin{array}{ccc} {\left(k -k'\right)\left(k +k'\right) } & {=} & {95} \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.
    La liste des diviseurs de 9595 est alors D(95)={1;5;19;95}D\left(95\right)=\left\{1;5;19;95\right\} .
    Comme kk et kk' sont des entiers naturels alors kk<k+kk -k'<k +k'
    Il nous faut donc (kk)(k+k)=95\left(k -k'\right)\left(k +k'\right)=95 avec PGCD(k;k)=1\text{PGCD}\left(k;k'\right)=1
    On a donc les systèmes suivants à résoudre :
    {kk=1k+k=95\left\{\begin{array}{ccc} {k-k'} & {=} & {1} \\ {k+k'} & {=} & {95} \end{array}\right.   \; ou\pink{\text{ou}}   \;  \;  \;{kk=5k+k=19\left\{\begin{array}{ccc} {k-k'} & {=} & {5} \\ {k+k'} & {=} & {19} \end{array}\right.
    Reˊsolvons d’une part :\blue{\text{Résolvons d'une part :}} {kk=1k+k=95\left\{\begin{array}{ccc} {k-k'} & {=} & {1} \\ {k+k'} & {=} & {95} \end{array}\right.
    {kk=1k+k=95\left\{\begin{array}{ccc} {k-k'} & {=} & {1} \\ {k+k'} & {=} & {95} \end{array}\right. équivaut successivement à :
    {k=1+kk+k=95\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {k+k'} & {=} & {95} \end{array}\right.
    {k=1+k1+k+k=95\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {1+k'+k'} & {=} & {95} \end{array}\right.
    {k=1+k1+2k=95\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {1+2k'} & {=} & {95} \end{array}\right.
    {k=1+k2k=951\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {2k'} & {=} & {95-1} \end{array}\right.
    {k=1+k2k=94\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {2k'} & {=} & {94} \end{array}\right.
    {k=1+kk=942\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {k'} & {=} & {\frac{94}{2} } \end{array}\right.
    {k=1+kk=47\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+k'} \\ {k'} & {=} & {47} \end{array}\right.
    {k=1+47k=47\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {1+47} \\ {k'} & {=} & {47} \end{array}\right.
    {k=48k=47\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {48} \\ {k'} & {=} & {47} \end{array}\right. Comme x>yx>y alors 9k>9k9k>9k' donc k>kk>k' . Or 4848 et 4747 sont premiers entre eux. Le couple (k=48;k=47)\left(\red{k=48};\green{k'=47}\right) convient . N'oublions pas que les couples solutions sont de la forme (x;y)=(9k;9k)\left(x;y\right)=\left(9\red{k};9\green{k'}\right) . Finalement, le premier couple solution est alors (432;423){\color{blue}{\left(432;423\right)}}
    Reˊsolvons d’autre part :\blue{\text{Résolvons d'autre part :}} {kk=5k+k=19\left\{\begin{array}{ccc} {k-k'} & {=} & {5} \\ {k+k'} & {=} & {19} \end{array}\right.
    {kk=5k+k=19\left\{\begin{array}{ccc} {k-k'} & {=} & {5} \\ {k+k'} & {=} & {19} \end{array}\right. équivaut successivement à :
    {k=5+kk+k=19\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {5+k'} \\ {k+k'} & {=} & {19} \end{array}\right.
    {k=5+k5+k+k=19\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {5+k'} \\ {5+k'+k'} & {=} & {19} \end{array}\right.
    {k=5+k5+2k=19\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {5+k'} \\ {5+2k'} & {=} & {19} \end{array}\right.
    {k=5+k2k=195\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {5+k'} \\ {2k'} & {=} & {19-5} \end{array}\right.
    {k=5+k2k=14\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {5+k'} \\ {2k'} & {=} & {14} \end{array}\right.
    {k=5+kk=142\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {5+k'} \\ {k'} & {=} & {\frac{14}{2} } \end{array}\right.
    {k=5+kk=7\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {5+k'} \\ {k'} & {=} & {7} \end{array}\right.
    {k=5+7k=7\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {5+7} \\ {k'} & {=} & {7} \end{array}\right.
    {k=12k=7\left\{\begin{array}{ccc} {k} & {=} & {12} \\ {k'} & {=} & {7} \end{array}\right. Comme x>yx>y alors 9k>9k9k>9k' donc k>kk>k' . Or 1212 et 77 sont premiers entre eux. Le couple (k=12;k=7)\left(\red{k=12};\green{k'=7}\right) convient . N'oublions pas que les couples solutions sont de la forme (x;y)=(9k;9k)\left(x;y\right)=\left(9\red{k};9\green{k'}\right) . Finalement, le deuxième couple solution est alors (108;63){\color{blue}{\left(108;63\right)}}
    Les solutions du système {x2y2=7695PGCD(x;y)=9\left\{\begin{array}{ccc} {x^{2}-y^{2}} & {=} & {7695} \\ {\text{PGCD}\left(x;y\right)} & {=} & {9} \end{array}\right. sont alors les couples :
    S={(108;63),(432;423)}S=\left\{\left(108;63\right),\left(432;423\right)\right\}