Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. Soit k un entier naturel non nul .Alors : PGCD(k×a;k×b)=k×PGCD(a;b) Nous savons que
PGCD(x;y)=9Cela signifie que
x est un multiple de
9 ou encore que
(9∣x) qui se lit
9 divise
x. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel
k tel que :
x=9k .
Cela signifie également que
y est un multiple de
9 ou encore que
(9∣y) qui se lit
9 divise
y. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel
k′ tel que :
y=9k′ .
Il vient alors que :
{x2−y2PGCD(x;y)==76959 équivaut successivement à :
{(9k)2−(9k′)2PGCD(9k;9k′)==76959{81k2−81k′29×PGCD(k;k′)==76959 {81(k2−k′2)9×PGCD(k;k′)==76959 {k2−k′2PGCD(k;k′)==81769599 {k2−k′2PGCD(k;k′)==951 on reconnait une identité remarquable.
{(k−k′)(k+k′)PGCD(k;k′)==951 La liste des diviseurs de
95 est alors
D(95)={1;5;19;95} .
Comme
k et
k′ sont des entiers naturels alors
k−k′<k+k′Il nous faut donc
(k−k′)(k+k′)=95 avec
PGCD(k;k′)=1On a donc les systèmes suivants à résoudre :
{k−k′k+k′==195 ou {k−k′k+k′==519Reˊsolvons d’une part : {k−k′k+k′==195 {k−k′k+k′==195 équivaut successivement à :
{kk+k′==1+k′95 {k1+k′+k′==1+k′95 {k1+2k′==1+k′95 {k2k′==1+k′95−1 {k2k′==1+k′94 {kk′==1+k′294 {kk′==1+k′47{kk′==1+4747 {kk′==4847 Comme
x>y alors
9k>9k′ donc
k>k′ . Or
48 et
47 sont premiers entre eux. Le couple
(k=48;k′=47) convient . N'oublions pas que les couples solutions sont de la forme
(x;y)=(9k;9k′) . Finalement, le premier couple solution est alors
(432;423)Reˊsolvons d’autre part : {k−k′k+k′==519 {k−k′k+k′==519 équivaut successivement à :
{kk+k′==5+k′19 {k5+k′+k′==5+k′19 {k5+2k′==5+k′19 {k2k′==5+k′19−5 {k2k′==5+k′14 {kk′==5+k′214 {kk′==5+k′7 {kk′==5+77 {kk′==127 Comme
x>y alors
9k>9k′ donc
k>k′ . Or
12 et
7 sont premiers entre eux. Le couple
(k=12;k′=7) convient . N'oublions pas que les couples solutions sont de la forme
(x;y)=(9k;9k′) . Finalement, le deuxième couple solution est alors
(108;63)Les solutions du système
{x2−y2PGCD(x;y)==76959 sont alors les couples :
S={(108;63),(432;423)}