Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. Soit k un entier naturel non nul .Alors : PGCD(k×a;k×b)=k×PGCD(a;b) Nous savons que
PGCD(x;y)=10Cela signifie que
x est un multiple de
10 ou encore que
(10∣x) qui se lit
10 divise
x. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel
k tel que :
x=10k .
Cela signifie également que
y est un multiple de
10 ou encore que
(10∣y) qui se lit
10 divise
y. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel
k′ tel que :
y=10k′ .
Il vient alors que :
{x+yPGCD(x;y)==5010 équivaut successivement à :
{10k+10k′PGCD(10k;10k′)==5010{10×(k+k′)10×PGCD(k;k′)==5010{k+k′PGCD(k;k′)==10501010{k+k′PGCD(k;k′)==51 Comme
x<y alors
10k<10k′ donc
k<k′ . Les seuls couples
(k;k′) d'entiers non nuls vérifiant
k+k′=5 sont alors :
(1;4) ou (2;3) Finalement les couples solutions sont de la forme
(x;y)=(10k;10k′) . Ainsi :
(10×1;10×4) ou (10×2;10×3) D'où :
(10;40) ou (20;30)Les couples solutions sont alors :
S={(10;40),(20;30)}