Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. Soit k un entier naturel non nul .Alors : PGCD(k×a;k×b)=k×PGCD(a;b) Nous savons que
PGCD(x;y)=16Cela signifie que
x est un multiple de
16 ou encore que
(16∣x) qui se lit
16 divise
x. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel
k tel que :
x=16k .
Cela signifie également que
y est un multiple de
16 ou encore que
(16∣y) qui se lit
16 divise
y. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel
k′ tel que :
y=16k′ .
Il vient alors que :
{xyPGCD(x;y)==102416 équivaut successivement à :
{16k×16k′PGCD(16k;16k′)==102416{256k×k′16×PGCD(k;k′)==102416{k×k′PGCD(k;k′)==25610241616 {k×k′PGCD(k;k′)==41 Il en résulte donc que
k et
k′ sont des
diviseurs de
4 et
premier entre eux.
La liste des diviseurs de
2 est alors
D(2)={1;2;4} . Nous allons noter tous les couples
(k;k′) possibles vérifiant
{k×k′PGCD(k;k′)==41. On a alors :
(1;4) ou (4;1) .
Finalement les couples solutions sont de la forme
(x;y)=(16k;16k′) . Ainsi :
(16×1;16×4) ou (16×4;16×1) On écrit alors :
S={(16;64),(64;16)}