Equations et PGCD - Exercice 1

Nous savons que $$\text{PGCD}\left(x;y\right)=25$$
Cela signifie que $$x$$ est un multiple de $$25$$ ou encore que $$\left(25{\rm }|x\right)$$ qui se lit $$25$$ divise $$x$$. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k$$ tel que : $$\red{x=25k}$$ .
Cela signifie également que $$y$$ est un multiple de $$25$$ ou encore que $$\left(25{\rm }|y\right)$$ qui se lit $$25$$ divise $$y$$. On peut donc dire qu'il existe un entier naturel $$k'$$ tel que : $$\green{y=25k'}$$ .
Il vient alors que :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {xy} & {=} & {1250} \\ {\text{PGCD}\left(x;y\right)} & {=} & {25} \end{array}\right.$$ équivaut successivement à :
$$\left\{\begin{array}{ccc} {\red{25k}\times \green{25k'}} & {=} & {1250} \\ {\text{PGCD}\left(\red{25k};\green{25k'}\right)} & {=} & {25} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {625k\times k'} & {=} & {1250} \\ {25\times\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {25} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k\times k'} & {=} & {\frac{1250}{625} } \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {\frac{25}{25}} \end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{ccc} {k\times k'} & {=} & {2} \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$$
Il en résulte donc que $$k$$ et $$k'$$ sont des $$\red{\text{diviseurs}}$$ de $$2$$ et $$\red{\text{premier entre eux}}$$.
La liste des diviseurs de $$2$$ est alors $$D\left(2\right)=\left\{1;2\right\}$$ . Nous allons noter tous les couples $$\left(k;k'\right)$$ possibles vérifiant $$\left\{\begin{array}{ccc} {k\times k'} & {=} & {2} \\ {\text{PGCD}\left(k;k'\right)} & {=} & {1} \end{array}\right.$$. On a alors :
$$\left(1;2\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(2;1\right)$$
Finalement les couples solutions sont de la forme $$\left(x;y\right)=\left(25k;25k'\right)$$ . Ainsi :
$$\left(25\times 1;25\times 2\right)$$ $$\pink{\text{ou}}$$ $$\left(25\times 2;25\times 1\right)$$
On écrit alors :