Déterminer une solution de l'équation $$au+bv=1$$ - Exercice 1

Il faut commencer par démontrer que les entiers relatifs $$26$$ et $$15$$ sont premiers entre eux. Pour cela, il faut calculer le $$\text{PGCD}\left(26;15\right)$$.
On vérifie facilement que $$\text{PGCD}\left(26;15\right)=1$$
Il en résulte donc que les entiers relatifs $$26$$ et $$15$$ sont premiers entre eux.
D’après le $$\red{\text{Théorème de Bézout}}$$, on peut déduire qu’il existe un couple d’entiers relatifs $$\left(u;v\right)$$ tel que $$15u-26v=1$$.
On cherche un tel couple en utilisant l’algorithme d’Euclide et on isole les restes non nuls obtenus. Il vient alors que :
$$26=15\times 1+\red{11}$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$\red{11}=26-15\times1$$
$$15=11\times 1+\purple{4}$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$\purple{4}=15-11\times1$$
$$11=4\times 2+\pink{3}$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \;\;$$ $$\pink{3}=11-4\times2$$
$$4=3\times 1+\blue{1}$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$\blue{1}=4-3\times1$$
$$3=1\times 3+0$$
Maintenant nous allons remonter l'algorithme d'Euclide en partant du dernier reste non nul :
$$\blue{1}=4-\pink{3}\times1$$
$$\blue{1}=4-\pink{\left(11-4\times2\right)}\times1$$ ( on va à l'étape suivante en réduisant les expressions disposant de la valeur $$4$$ ) .
$$1=4-11\times1+4\times 2$$
$$\blue{1}=\purple{4}\times3-11\times1$$
$$\blue{1}=\purple{\left(15-11\times1\right)}\times3-11\times1$$ ( on va à l'étape suivante en réduisant les expressions disposant de la valeur $$11$$ ) .
$$1=15\times 3 -11\times3-11\times1$$
$$\blue{1}=\red{11}\times\left(-4\right)+15\times3$$
$$\blue{1}=\red{\left(26-15\times1\right)}\times\left(-4\right)+15\times3$$
On obtient alors :
$$1=15\times 7-4\times26$$
Il en résulte qu'un couple d'entiers relatifs $$\left(u;v\right)$$ tel que $$15u-26v=1$$ est le couple $$\left(7;4\right)$$

Il faut commencer par démontrer que les entiers relatifs $$331$$ et $$221$$ sont premiers entre eux. Pour cela, il faut calculer le $$\text{PGCD}\left(331;221\right)$$.
On vérifie facilement que $$\text{PGCD}\left(331;221\right)=1$$
Il en résulte donc que les entiers relatifs $$331$$ et $$221$$ sont premiers entre eux.
D’après le $$\red{\text{Théorème de Bézout}}$$, on peut déduire qu’il existe un couple d’entiers relatifs $$\left(u;v\right)$$ tel que $$221u-331v=1$$.
On cherche un tel couple en utilisant l’algorithme d’Euclide et on isole les restes non nuls obtenus. Il vient alors que :
$$331=221\times 1+\red{110}$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$\red{110}=331-221\times1$$
$$221=110\times 2+\purple{1}$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$\purple{1}=221-110\times2$$
$$110=1\times 110+0$$
Maintenant nous allons remonter l'algorithme d'Euclide en partant du dernier reste non nul :
$$\purple{1}=221-\red{110}\times2$$
$$\purple{1}=221-\red{\left(331-221\times1\right)}\times2$$
On obtient alors :
$$1=221\times 3-331\times2$$
Il en résulte qu'un couple d'entiers relatifs $$\left(u;v\right)$$ tel que $$221u-331v=1$$ est le couple $$\left(3;2\right)$$

Il faut commencer par démontrer que les entiers relatifs $$87$$ et $$31$$ sont premiers entre eux. Pour cela, il faut calculer le $$\text{PGCD}\left(87;31\right)$$.
On vérifie facilement que $$\text{PGCD}\left(87;31\right)=1$$
Il en résulte donc que les entiers relatifs $$87$$ et $$31$$ sont premiers entre eux.
D’après le $$\red{\text{Théorème de Bézout}}$$, on peut déduire qu’il existe un couple d’entiers relatifs $$\left(u;v\right)$$ tel que $$87u+31v=1$$.
On cherche un tel couple en utilisant l’algorithme d’Euclide et on isole les restes non nuls obtenus. Il vient alors que :
$$87=31\times 2+\red{25}$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$\red{25}=87-31\times2$$
$$31=25\times 1+\pink{6}$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \;\;$$ $$\pink{6}=31-25\times1$$
$$25=6\times 4+\blue{1}$$ $$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$\blue{1}=25-6\times4$$
$$6=1\times 6+0$$
Maintenant nous allons remonter l'algorithme d'Euclide en partant du dernier reste non nul :
$$\blue{1}=25-\pink{6}\times4$$
$$\blue{1}=25-\pink{\left(31-25\times1\right)}\times4$$ ( on va à l'étape suivante en réduisant les expressions disposant de la valeur $$25$$ ) .
$$\blue{1}=\red{25}\times5-31\times4$$
$$\blue{1}=\red{\left(87-31\times2\right)}\times5-31\times4$$
On obtient alors :
$$1=5\times 87 -14\times 31$$
Il en résulte qu'un couple d'entiers relatifs $$\left(u;v\right)$$ tel que $$87u+31v=1$$ est le couple $$\left(5;-14\right)$$